0507-2006 京情系 数学 P22

复变函数 复积分 留数定理 柯西黎曼方程 解析函数

問題1 次の問に答えよ.

1. 1の16乗根で偏角が正で最小のものを $z(\ne 1)$ とするとき,次の和を求めよ.

$$S=\sum _{k=0}^7{z}^{2k}$$

2. 次の実積分の値を求めよ. ここに, $0<a<b$ とする.

$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}$$

3. $z=x+iy$ とするとき, 関数 $f(z)=\sin z^2$ の実部を $x$ と $y$ で表せ.

問題2 複素変数 $z=x+iy$ の正則関数 $f(z)$ の実部, 虚部をそれぞれ $u(x,y)$, $v(x,y)$ とする. すなわち

$$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$$

とする. 以下の問に対し, その導出過程・論拠を詳細に示しつつ答えよ.

1. $z$ を実軸方向に $\Delta x$ だけ移動した点を $z_1=x+\Delta x+iy$ とし, 虚軸方向に $\Delta y$ だけ移動した点を $z_2=x+i(y+\Delta y)$ とする. このとき,
   $(f(z_1)-f(z))/(z_1-z)$ , $(f(z_2)-f(z))/(z_2-z)$ について,
   $\Delta x\to 0,\Delta y\to 0$ としたときの極限値をそれぞれ $u$ と $v$ を用いて表せ.
2. 上の結果から Cauchy-Riemann の関係式を導け.
3. $u(x,y)=x^3-3x{y}^2$ のとき, $f(z)$ を求めよ.

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解答：
問題1

1. 題意より $z=\exp (i\frac{2\pi }{16})=\exp (i\frac{\pi }{8})$ である．等比数列の和の公式を用いると，

$$S=\sum _{k=0}^7(z^2{)}^k=\frac{1-(z^2{)}^8}{1-z^2}=\frac{1-z^{16}}{1-z^2}$$

$z^{16}=1$ であり，かつ $z^2=\exp (i\frac{\pi }{4})\ne 1$ であるため，

$$\boxed{S=0}$$

2. 被積分関数を $f(z)=\frac{1}{(z^2+a^2)(z^2+b^2)}$ とする．上半平面における極は $z=ia,ib$ である．それぞれの留数を求める．

$$\text{Res}(f,ia)=\underset{z\to ia}{\lim }\frac{1}{(z+ia)(z^2+b^2)}=\frac{1}{2ia(b^2-a^2)}$$ $$\text{Res}(f,ib)=\underset{z\to ib}{\lim }\frac{1}{(z^2+a^2)(z+ib)}=\frac{1}{2ib(a^2-b^2)}=-\frac{1}{2ib(b^2-a^2)}$$

留数定理より，積分 $I$ は

$$\begin{array}{rl}I& =2\pi i(\text{Res}(f,ia)+\text{Res}(f,ib))\\ & =2\pi i\left(\frac{1}{2ia(b^2-a^2)}-\frac{1}{2ib(b^2-a^2)}\right)\\ & =\frac{\pi }{b^2-a^2}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)=\frac{\pi (b-a)}{ab(b-a)(b+a)}\end{array}$$ $$\boxed{I=\frac{\pi }{ab(a+b)}}$$

3. $z^2=(x+iy{)}^2=x^2-y^2+i(2xy)$ である．

$$f(z)=\sin (x^2-y^2+i2xy)=\sin (x^2-y^2)\cos (i2xy)+\cos (x^2-y^2)\sin (i2xy)$$

$\cos (i\theta )=\cosh \theta ,\sin (i\theta )=i\sinh \theta$ を用いると，

$$f(z)=\sin (x^2-y^2)\cosh (2xy)+i\cos (x^2-y^2)\sinh (2xy)$$

実部は以下のようになる．

$$\boxed{\sin (x^2-y^2)\cosh (2xy)}$$

問題2

1. 与えられた定義より，極限は偏微分に等しい．

$$\begin{array}{rl}\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(z_1)-f(z)}{z_1-z}& =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\Delta x,y)-u(x,y)+i(v(x+\Delta x,y)-v(x,y))}{\Delta x}\\ & =\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(z_2)-f(z)}{z_2-z}& =\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{u(x,y+\Delta y)-u(x,y)+i(v(x,y+\Delta y)-v(x,y))}{i\Delta y}\\ & =\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}\end{array}$$ $$\boxed{\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(z_1)-f(z)}{z_1-z}=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x},\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(z_2)-f(z)}{z_2-z}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}}$$

2. $f(z)$ が正則関数であるため，微分の値は近づく方向に依存せず一意に定まる．したがって，1) の2つの極限値は等しい．

$$\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}$$

実部と虚部をそれぞれ比較することで，Cauchy-Riemann の関係式が得られる．

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$$

(証明終)

3. $u(x,y)=x^3-3x{y}^2$ より，偏微分は

$$\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2,\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy$$

Cauchy-Riemannの関係式より，

$$\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2⟹v(x,y)=3x^{2}y-y^3+C(x)$$ $$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}=6xy$$

一方で $v(x,y)$ の式から $x$ について偏微分すると $\frac{\partial v}{\partial x}=6xy+C^{\prime }(x)$ となる．比較して $C^{\prime }(x)=0$ を得るので，$C(x)$ は実定数 $C$ である．したがって，$v(x,y)=3x^{2}y-y^3+C$ となる．これより，関数 $f(z)$ は

$$\begin{array}{rl}f(z)& =(x^3-3x{y}^2)+i(3x^{2}y-y^3+C)\\ & =x^3+3i{x}^{2}y+3x(iy{)}^2+(iy{)}^3+iC\\ & =(x+iy{)}^3+iC=z^3+iC\end{array}$$ $$\boxed{f(z)=z^3+iC(C\text{は実定数})}$$

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这套题目全面考查了复变函数中的核心概念与计算技巧。问题1涵盖了复数的基本运算和复积分，第一小问要求利用单位根的性质和等比数列求和公式来计算代数和，第二小问则是经典的利用留数定理求解实轴上的有理函数广义积分，通过在复平面上半部构造大半圆回路并将极点代入留数公式即可得到积分值，第三小问考察了如何利用复变量的三角函数与双曲函数之间的转换关系来分离实部与虚部。问题2则深入探讨了解析函数的基本性质，首先通过定义证明复导数在沿实轴和虚轴方向逼近时的等价性，进而顺理成章地推导出柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）方程，随后在最后一小问中进行了逆向应用，即在已知解析函数实部的条件下，通过偏微分积分和柯西黎曼关系重构出共轭调和函数，最终将结果整理化简为关于复变量 $z$ 的解析表达式。