0506-2006 京情系 数学 P17

微分积分 向量分析

問 1 実変数 $x$ の関数 $f(x),g(x)$ をそれぞれ

$$f(x)=\log (1+x)$$ $$g(x)=(1+x{)}^{-1/x}$$

とおく．以下の問に答えよ．

(i) $f(x)$ の $x=0$ に関するテイラー展開（マクローリン展開）を，$x$ の3次の項まで求めよ．

(ii) 極限 $\underset{x\to 0}{\lim }g(x)$ を求めよ．

(iii) $g(x)$ の $x=0$ に関するテイラー展開を $x$ の2次の項まで求めよ．必要に応じて，関数 $g(x)$ が $|x|<1$ で解析的であるという事実を証明なしに用いてよい．

問 2 $x,y,z$ を正規直交座標系とする3次元実ユークリッド空間における楕円面

$$E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1(a,b,c>0)$$

と，原点を通る平面

$$P:lx+my+nz=0(l,m,n\ne 0)$$

とを考える．以下の問に答えよ．

(i) $E$ と $P$ との共通部分として定まる図形 $D$ の名称を答えよ．

(ii) $D$ 上の点 $d$ の座標を $(x,y,z)=(p,q,r)$ とおくとき，$p$ の最大値 $p_{\max }$ を求めよ．

(iii) $x,y,z$ 軸にそれぞれ平行な辺をもつ直方体のうち，図形 $D$ を含む最小のものを $R$ とする．$R$ のもっとも長い対角線の長さを $L$ とおくとき，$L^2$ を求めよ．

---

解答：

問 1
(i) $f(x)=\log (1+x)$ の導関数は
$f^{\prime }(x)=(1+x{)}^{-1}$
$f^{\prime \prime }(x)=-(1+x{)}^{-2}$
$f^{\prime \prime \prime }(x)=2(1+x{)}^{-3}$
したがって，$f(0)=0,f^{\prime }(0)=1,f^{\prime \prime }(0)=-1,f^{\prime \prime \prime }(0)=2$ となるので，マクローリン展開は

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{3!}{x}^3+\cdots$$ $$\boxed{x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3}$$

(ii) $g(x)=(1+x{)}^{-1/x}=\exp \left(-\frac{\log (1+x)}{x}\right)$ と変形する．
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\log (1+x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-x^2/2+\cdots }{x}=1$ であるから，

$$\underset{x\to 0}{\lim }g(x)=\exp (-1)$$ $$\boxed{e^{-1}}$$

(iii) $g(x)=\exp \left(-\frac{1}{x}\left(x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3+O(x^4)\right)\right)$ より

$$g(x)=\exp \left(-1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}{x}^2+O(x^3)\right)=e^{-1}\exp \left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}{x}^2+O(x^3)\right)$$

ここで，$e^t$ のマクローリン展開 $e^t=1+t+\frac{1}{2}{t}^2+\cdots$ を用いて $t=\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}{x}^2+O(x^3)$ を代入すると，

$$\exp (t)=1+\left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}{x}^2\right)+\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}{x}^2\right)}^2+O(x^3)$$ $$=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}{x}^2+\frac{1}{8}{x}^2+O(x^3)=1+\frac{1}{2}x-\frac{5}{24}{x}^2+O(x^3)$$

したがって

$$\boxed{e^{-1}+\frac{e^{-1}}{2}x-\frac{5e^{-1}}{24}{x}^2}$$

問 2
(i) $E$ は原点を中心とする有界な閉曲面であり，$P$ は原点を通る平面である．これらは原点で交わるため共通部分は空集合ではなく，さらに2次曲面と平面の交わりは2次曲線となる．有界であることから，この図形 $D$ は楕円である．

$$\boxed{\text{楕円}}$$

(ii) $p$ (すなわち $x$ 座標) を $E$ および $P$ の制約下で最大化する．
ラグランジュの未定乗数法を用いる．目的関数を $x$，制約を $F_1=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0$, $F_2=lx+my+nz=0$ とする．
ラグランジュ関数 $L=x-\lambda F_1-\mu F_2$ に対して偏微分を0とおくと，

$$1-\frac{2\lambda x}{a^2}-\mu l=0,-\frac{2\lambda y}{b^2}-\mu m=0,-\frac{2\lambda z}{c^2}-\mu n=0$$

これより $y=-\frac{\mu m{b}^2}{2\lambda },z=-\frac{\mu n{c}^2}{2\lambda }$ を得る．
平面の方程式 $lx+my+nz=0$ に代入して，

$$lx-\frac{\mu m^2{b}^2}{2\lambda }-\frac{\mu n^2{c}^2}{2\lambda }=0⟹\mu =\frac{2\lambda lx}{m^2{b}^2+n^2{c}^2}$$

$x$ の式に代入すると，

$$1=\frac{2\lambda x}{a^2}+\frac{2\lambda l^{2}x}{m^2{b}^2+n^2{c}^2}=2\lambda x\left(\frac{1}{a^2}+\frac{l^2}{m^2{b}^2+n^2{c}^2}\right)$$

一方，$y,z$ を $E$ の方程式に代入すると，

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{{\mu }^2{m}^2{b}^2}{4{\lambda }^2}+\frac{{\mu }^2{n}^2{c}^2}{4{\lambda }^2}=1⟹\frac{x^2}{a^2}+\frac{{\mu }^2}{4{\lambda }^2}(m^2{b}^2+n^2{c}^2)=1$$

$\mu$ の式から $\frac{{\mu }^2}{4{\lambda }^2}=\frac{l^2{x}^2}{(m^2{b}^2+n^2{c}^2{)}^2}$ を代入し，

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{l^2{x}^2}{m^2{b}^2+n^2{c}^2}=1⟹x^2\left(\frac{m^2{b}^2+n^2{c}^2+l^2{a}^2}{a^2(m^2{b}^2+n^2{c}^2)}\right)=1$$

したがって，

$$\boxed{\begin{array}{r}{p}_{\max }=a\sqrt{\frac{m^2{b}^2+n^2{c}^2}{l^2{a}^2+m^2{b}^2+n^2{c}^2}}\end{array}}$$

(iii) 最小の直方体 $R$ の各辺の長さは，$D$ 上の点の各座標の最大値の2倍になる．
(ii) の結果から $x$ 方向の長さは $2p_{\max }$ であり，対称性より $y$ 方向の長さ $2q_{\max }$ および $z$ 方向の長さ $2r_{\max }$ は以下のようになる．

$$q_{\max }^2=\frac{b^2(l^2{a}^2+n^2{c}^2)}{l^2{a}^2+m^2{b}^2+n^2{c}^2},r_{\max }^2=\frac{c^2(l^2{a}^2+m^2{b}^2)}{l^2{a}^2+m^2{b}^2+n^2{c}^2}$$

直方体 $R$ のもっとも長い対角線の長さ $L$ は，$L^2=(2p_{\max }{)}^2+(2q_{\max }{)}^2+(2r_{\max }{)}^2=4(p_{\max }^2+q_{\max }^2+r_{\max }^2)$ で与えられる．

$$p_{\max }^2+q_{\max }^2+r_{\max }^2=\frac{a^2{m}^2{b}^2+a^2{n}^2{c}^2+b^2{l}^2{a}^2+b^2{n}^2{c}^2+c^2{l}^2{a}^2+c^2{m}^2{b}^2}{l^2{a}^2+m^2{b}^2+n^2{c}^2}$$

分子を整理すると，

$$\boxed{\begin{array}{r}{L}^2=4\frac{a^2{b}^2(l^2+m^2)+b^2{c}^2(m^2+n^2)+c^2{a}^2(n^2+l^2)}{l^2{a}^2+m^2{b}^2+n^2{c}^2}\end{array}}$$

---

这道题目主要涵盖了微积分中的泰勒展开（麦克劳林展开）以及空间解析几何中的条件极值问题。

在问1中，需要求解对数函数及复合指数函数的泰勒展开。关键技巧是利用熟知的 $\log (1+x)$ 和 $e^x$ 的标准展开式，结合复合函数的变量代换进行计算。在处理 $g(x)$ 的展开时，先将其取对数化为指数函数的形式，从而能够很方便地利用指数函数的幂级数展开出二次项。

在问2中，涉及的是求椭圆面与过原点平面相交截得曲线的极值。这一题利用了拉格朗日乘数法来求解条件极值。在求解包围相交椭圆的最小直角长方体的最长对角线时，由于长方体各面平行于坐标平面，其棱长恰好是由坐标 $x,y,z$ 在相交椭圆上的最大值决定的。根据对称性，只要解出 $x$ 的最大值表达式，就能直接写出 $y$ 和 $z$ 的最大值，进而利用空间中两点距离公式（或长方体对角线公式）求得 $L^2$ 的最终结果。此类问题将代数优化与空间几何结合得很紧密。