0505-2006 京情系 数学 P16

线性代数 线性方程组 特征值与特征向量 正定矩阵

問1　つぎの $x,y,z$ に関する連立1次方程式が解をもつための $a$ に関する条件を求め，そのときの解を求めよ．

$$\begin{array}{rl}x+y-z& =1\\ 2x-y+z& =-1\\ 3x+ay+z& =-1\\ 2x-2y+(a+3)z& =a-7\end{array}$$

問2　$n\times n$ 実行列 $\mathbf{A}$ が交代行列であるとする．すなわち，$\mathbf{A}=-{\mathbf{A}}^T$ である．ここで，“$T$” は転置を表す．このとき，以下の問に答えよ．
(i) $\mathbf{A}$ の固有値を $\lambda$，対応する固有ベクトルを $\mathbf{x}$ とし，${\mathbf{x}}^H{\mathbf{A}}^H\mathbf{x}$ を考えることにより $\lambda$ は 0 か純虚数であることを示せ．ただし，“$H$” は複素共役転置を表す．
(ii) $\mathbf{I}$ を $n\times n$ の単位行列とすると，$\mathbf{I}+\mathbf{A}$ は正則であることを示せ．

問3　$n\times n$ 実行列 ${\mathbf{A}}_n$ の $i$ 行 $j$ 列要素 $a_{ij}$ が

$$a_{ii}=1(i=1,\dots ,n),a_{i,i+1}=a_{i+1,i}=b(i=1,\dots ,n-1),\text{その他の}{a}_{ij}=0$$

で与えられているとき，以下の問に答えよ．
(i) ${\mathbf{A}}_n$ の行列式を $D_n$ とおくと，つぎの漸化式が成立することを示せ．

$$D_n=D_{n-1}-b^2{D}_{n-2}(n>2)$$

(ii) $b=\frac{c}{1+c^2}$ （ただし，$-1<c<1$）のとき，${\mathbf{A}}_n$ は正定であることを示せ．

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解答：
問1
拡大係数行列を基本変形する：

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& 1\\ 2& -1& 1& -1\\ 3& a& 1& -1\\ 2& -2& a+3& a-7\end{array}\right)\stackrel{\begin{array}{l}{R}_2-2R_1\\ R_3-3R_1\\ R_4-2R_1\end{array}}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& 1\\ 0& -3& 3& -3\\ 0& a-3& 4& -4\\ 0& -4& a+5& a-9\end{array}\right)$$ $$\stackrel{R_2/(-3)}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& 1\\ 0& 1& -1& 1\\ 0& a-3& 4& -4\\ 0& -4& a+5& a-9\end{array}\right)\stackrel{\begin{array}{l}{R}_1-R_2\\ R_3-(a-3)R_2\\ R_4+4R_2\end{array}}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& -1& 1\\ 0& 0& a+1& -a-1\\ 0& 0& a+1& a-5\end{array}\right)$$ $$\stackrel{R_4-R_3}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& -1& 1\\ 0& 0& a+1& -a-1\\ 0& 0& 0& 2a-4\end{array}\right)$$

解が存在するためには，$2a-4=0$ が必要十分である．

$$a=2$$

$a=2$ を代入し，さらに変形する：

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& -1& 1\\ 0& 0& 3& -3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\stackrel{R_3/3}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& -1& 1\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\stackrel{R_2+R_3}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}\text{条件: }& a=2\\ \text{解: }& x=0,y=0,z=-1\end{array}}$$

問2
(i)
$\mathbf{A}$ は実行列より，${\mathbf{A}}^H={\bar{\mathbf{A}}}^T={\mathbf{A}}^T=-\mathbf{A}$．
$\mathbf{A}\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$，かつ $\mathbf{x}\ne 0$ である．
${\mathbf{x}}^H{\mathbf{A}}^H\mathbf{x}$ を二通りで計算する．

$${\mathbf{x}}^H{\mathbf{A}}^H\mathbf{x}=(\mathbf{A}\mathbf{x}{)}^H\mathbf{x}=(\lambda \mathbf{x}{)}^H\mathbf{x}=\bar{\lambda }{\mathbf{x}}^H\mathbf{x}$$ $${\mathbf{x}}^H{\mathbf{A}}^H\mathbf{x}={\mathbf{x}}^H(-\mathbf{A})\mathbf{x}=-{\mathbf{x}}^H(\lambda \mathbf{x})=-\lambda {\mathbf{x}}^H\mathbf{x}$$

したがって，

$$\bar{\lambda }{\mathbf{x}}^H\mathbf{x}=-\lambda {\mathbf{x}}^H\mathbf{x}⟹(\bar{\lambda }+\lambda ){\mathbf{x}}^H\mathbf{x}=0$$

$\mathbf{x}\ne 0$ より ${\mathbf{x}}^H\mathbf{x}>0$ であるため，$\bar{\lambda }+\lambda =0$．
ゆえに，$\lambda$ の実部は 0 であり，$\lambda$ は 0 か純虚数である．(証明終)

(ii)
$\mathbf{I}+\mathbf{A}$ の固有値は $1+{\lambda }_i$ と表される．ここで ${\lambda }_i$ は $\mathbf{A}$ の固有値である．
(i) の結果より，${\lambda }_i=ci(c\in \mathbb{R})$ とおける．

$$|1+{\lambda }_i{|}^2=|1+ci{|}^2=1+c^2\ge 1>0$$

任意の固有値 $1+{\lambda }_i$ は 0 にならないため，$\det (\mathbf{I}+\mathbf{A})=\prod (1+{\lambda }_i)\ne 0$ となる．
したがって，$\mathbf{I}+\mathbf{A}$ は正則である．(証明終)

問3
(i)
${\mathbf{A}}_n$ の第1行について余因子展開を行う：

$$D_n=1\cdot \det ({\mathbf{A}}_{n-1})-b\cdot \det ({\mathbf{B}}_{n-1})$$

ここで ${\mathbf{B}}_{n-1}$ は ${\mathbf{A}}_n$ の 1行2列を除いた小行列である．
${\mathbf{B}}_{n-1}$ の第1列は一番上の要素が $b$ で他は全て 0 であるため，この第1列について余因子展開を行うと：

$$\det ({\mathbf{B}}_{n-1})=b\cdot \det ({\mathbf{A}}_{n-2})=b{D}_{n-2}$$

したがって，

$$D_n=D_{n-1}-b^2{D}_{n-2}(n>2)$$

(証明終)

(ii)
特性方程式 $x^2-x+b^2=0$ の解を $x_1,x_2$ とおく．
$b=\frac{c}{1+c^2}$ を代入すると，

$$x=\frac{1\pm \sqrt{1-4\frac{c^2}{(1+c^2{)}^2}}}{2}=\frac{1\pm \frac{1-c^2}{1+c^2}}{2}$$ $$x_1=\frac{1}{1+c^2},x_2=\frac{c^2}{1+c^2}$$

一般項は $D_n=C_1{x}_1^n+C_2{x}_2^n$ と表される．
$D_0=1,D_1=1$ を用いると，

$$C_1+C_2=1,C_1{x}_1+C_2{x}_2=1$$

これを解くと $C_1=\frac{x_1}{x_1-x_2},C_2=\frac{-x_2}{x_1-x_2}$．

$$D_n=\frac{x_1^{n+1}-x_2^{n+1}}{x_1-x_2}$$

$-1<c<1$ より $0\le c^2<1$ であるため，

$$x_1=\frac{1}{1+c^2}>\frac{c^2}{1+c^2}=x_2\ge 0$$

ゆえに，$x_1^{n+1}-x_2^{n+1}>0$ かつ $x_1-x_2>0$ となり，任意の $n\ge 1$ に対して $D_n>0$ である．
シルベスターの判定基準により，全ての主小行列式が正であるため，${\mathbf{A}}_n$ は正定行列である．(証明終)

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补充说明这几道题综合考查了线性代数中的核心概念。第一题是参数线性方程组的求解，关键在于通过初等行变换将增广矩阵化为阶梯形，并利用最后一行非零元判断无解或有解的条件，进而求出特解。第二题探讨了实反对称矩阵的性质，利用复共轭转置将特征值等式两边进行处理，从而证明特征值的实部为零，这一结论进一步保证了原矩阵加上单位阵后其所有特征值均非零，由此顺理成章地证明了其可逆性。第三题是一个典型的三对角矩阵行列式递推问题，利用第一行和第一列的拉普拉斯展开即可得到二阶常系数线性递推数列，求解特征方程后结合题设参数范围判断通行列表达式的符号，最后利用赫尔维茨定理或称西尔维斯特准则，即各阶顺序主子式均大于零这一条件来确定矩阵的正定性，这类问题在处理常微分方程离散化或数值分析中的刚度矩阵时非常常见。