0504-2005 京情系 机械 P9

力学 振动学 分析力学 拉格朗日方程 固有频率

図2に示すように均質で質量 $m$、半径 $r$ の剛体円板が、質量の無視できる長さ $r$ の糸で固定面から吊り下げられ、鉛直面内で自由に運動できるようになっている。平衡状態では、糸は鉛直方向を向き、円板は静止する（${\theta }_1={\theta }_2=0$）。

1. 平衡状態からの微小振動について運動エネルギーとポテンシャルエネルギーを求めよ。

2. 微小振動の運動方程式を求めよ。

3. この系の固有振動数を求めよ。
   

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解答：

円板の重心（中心）の座標を $(x_G,y_G)$ とすると，幾何学的な関係から以下のようになる．

$$\begin{array}{rl}{x}_G& =r\sin {\theta }_1+r\sin {\theta }_2\\ y_G& =-r\cos {\theta }_1-r\cos {\theta }_2\end{array}$$

微小振動（${\theta }_1,{\theta }_2\ll 1$）の近似を用いると，速度成分は以下の通りとなる．

$$\begin{array}{rl}{\dot{x}}_G& \approx r{\dot{\theta }}_1+r{\dot{\theta }}_2\\ {\dot{y}}_G& \approx 0\end{array}$$

重心の並進運動エネルギー $T_{trans}$ は，

$$T_{trans}=\frac{1}{2}m({\dot{x}}_G^2+{\dot{y}}_G^2)\approx \frac{1}{2}m{r}^2({\dot{\theta }}_1+{\dot{\theta }}_2{)}^2=\frac{1}{2}m{r}^2({\dot{\theta }}_1^2+2{\dot{\theta }}_1{\dot{\theta }}_2+{\dot{\theta }}_2^2)$$

円板の重心まわりの回転運動エネルギー $T_{rot}$ は，円板の慣性モーメントを $I=\frac{1}{2}m{r}^2$，角速度を ${\dot{\theta }}_2$ として，

$$T_{rot}=\frac{1}{2}I{\dot{\theta }}_2^2=\frac{1}{4}m{r}^2{\dot{\theta }}_2^2$$

したがって，系全体の運動エネルギー $T$ は，

$$\boxed{T=T_{trans}+T_{rot}\approx \frac{1}{2}m{r}^2{\dot{\theta }}_1^2+m{r}^2{\dot{\theta }}_1{\dot{\theta }}_2+\frac{3}{4}m{r}^2{\dot{\theta }}_2^2}$$

ポテンシャルエネルギー $U$ は，平衡状態（${\theta }_1={\theta }_2=0$）を基準の $0$ とすると，

$$\begin{array}{rl}U& =mg{y}_G-mg(-2r)\\ & =-mgr(\cos {\theta }_1+\cos {\theta }_2)+2mgr\end{array}$$

テイラー展開 $\cos \theta \approx 1-\frac{{\theta }^2}{2}$ を用いると，

$$\boxed{U\approx \frac{1}{2}mgr{\theta }_1^2+\frac{1}{2}mgr{\theta }_2^2}$$

ラグランジアン $L=T-U$ を用いてラグランジュの運動方程式 $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{\theta }}_i}\right)-\frac{\partial L}{\partial {\theta }_i}=0(i=1,2)$ を立てる．
${\theta }_1$ についての微分を計算する．

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}(m{r}^2{\dot{\theta }}_1+m{r}^2{\dot{\theta }}_2)-(-mgr{\theta }_1)& =0\\ m{r}^2{\ddot{\theta }}_1+m{r}^2{\ddot{\theta }}_2+mgr{\theta }_1& =0\end{array}$$

${\theta }_2$ についての微分を計算する．

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}\left(m{r}^2{\dot{\theta }}_1+\frac{3}{2}m{r}^2{\dot{\theta }}_2\right)-(-mgr{\theta }_2)& =0\\ m{r}^2{\ddot{\theta }}_1+\frac{3}{2}m{r}^2{\ddot{\theta }}_2+mgr{\theta }_2& =0\end{array}$$

整理すると，微小振動の運動方程式は以下の通りとなる．

$$\boxed{\begin{array}{rl}{\ddot{\theta }}_1+{\ddot{\theta }}_2+\frac{g}{r}{\theta }_1& =0\\ {\ddot{\theta }}_1+\frac{3}{2}{\ddot{\theta }}_2+\frac{g}{r}{\theta }_2& =0\end{array}}$$

角振動数を $\omega$ として，解を ${\theta }_1=A\cos (\omega t)$，${\theta }_2=B\cos (\omega t)$ とおく．これらを運動方程式に代入して整理する．

$$\begin{array}{rl}\left(\frac{g}{r}-{\omega }^2\right)A-{\omega }^{2}B& =0\\ -{\omega }^{2}A+\left(\frac{g}{r}-\frac{3}{2}{\omega }^2\right)B& =0\end{array}$$

自明でない解をもつためには，係数行列の行列式がゼロでなければならない．

$$\left|\begin{array}{cc}\frac{g}{r}-{\omega }^2& -{\omega }^2\\ -{\omega }^2& \frac{g}{r}-\frac{3}{2}{\omega }^2\end{array}\right|=0$$

展開して ${\omega }^2$ についての方程式を得る．

$$\begin{array}{rl}\left(\frac{g}{r}-{\omega }^2\right)\left(\frac{g}{r}-\frac{3}{2}{\omega }^2\right)-{\omega }^4& =0\\ \frac{1}{2}{\omega }^4-\frac{5g}{2r}{\omega }^2+\frac{g^2}{r^2}& =0\\ {\omega }^4-\frac{5g}{r}{\omega }^2+\frac{2g^2}{r^2}& =0\end{array}$$

この二次方程式を解くと，

$${\omega }^2=\frac{5\pm \sqrt{25-8}}{2}\frac{g}{r}=\frac{5\pm \sqrt{17}}{2}\frac{g}{r}$$

したがって，この系の固有振動数 $\omega$ は，

$$\boxed{\omega =\sqrt{\frac{5-\sqrt{17}}{2}\frac{g}{r}},\sqrt{\frac{5+\sqrt{17}}{2}\frac{g}{r}}}$$

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本题考察了使用拉格朗日力学方法求解多自由度刚体系统的微小振动问题。在推导动能时需要利用质心坐标对时间求导以获得线速度，同时由于是刚体，还需要加上绕质心旋转的转动动能。圆板的绝对自转角度与悬挂点到质心的连线角度一致，因此旋转角速度等于第二个广义坐标的导数。由于题目限定为微小振动，动能中可以对角度进行小量近似，省略高阶小量，势能则通过在平衡位置泰勒展开保留至二次项。通过写出系统的拉格朗日函数并带入欧拉-拉格朗日方程即可得到线性的耦合常微分方程组。求解固有频率的过程实质上是求特征值问题，即假设简谐振动解，令系数矩阵的行列式为零来获得关于固有角频率的特征方程。系统有两个自由度，解双二次方程即可严格得到两个不同的固有频率。