0500-2005 京情系 数学 P5

微分积分 微积分 导数的应用 方程的根

$a,b$ を実定数，$n$ を自然数とする．以下の設問に答えよ．
(1) 方程式 $x^{2n+1}+ax+b=0$ の実根は高々3個であることを示せ．
(2) $n=1$ の場合について，上記方程式が互いに相異なる3つの実根を持つための必要十分条件を求めよ．

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解答：

(1)
$f(x)=x^{2n+1}+ax+b$ とおく．

$$f^{\prime }(x)=(2n+1)x^{2n}+a$$

$n$ は自然数であるため，$x^{2n}\ge 0$ である．
(i) $a\ge 0$ のとき
常に $f^{\prime }(x)\ge 0$ となり（等号成立は $x=0,a=0$ のみ），$f(x)$ は単調増加する．ゆえに実根はただ1つである．
(ii) $a<0$ のとき
$f^{\prime }(x)=0$ を満たす実根は $x=\pm \sqrt[2n]{-\frac{a}{2n+1}}$ の2個のみである．
ロルの定理より，$f(x)=0$ の実根が4個以上存在すると仮定すると，$f^{\prime }(x)=0$ は少なくとも3個の実根を持つことになり矛盾する．
したがって，(i)(ii)のいずれの場合も方程式の実根は高々3個である．(証明終)

(2)
$n=1$ のとき，方程式は $x^3+ax+b=0$ となる．
$g(x)=x^3+ax+b$ とおくと，

$$g^{\prime }(x)=3x^2+a$$

$g(x)=0$ が互いに相異なる3つの実根を持つための必要十分条件は，$g(x)$ が極大値と極小値を持ち，かつそれらの積が負となることである．
極値を持つ条件より，$g^{\prime }(x)=0$ は相異なる2つの実根を持たなければならないため，

$$a<0$$

このとき，$g^{\prime }(x)=0$ の根は $x=\pm \sqrt{-\frac{a}{3}}$ であり，これらを $g(x)$ に代入した値の積が負であればよい．
ここで $g(x)=x(x^2+a)+b$ であり，$x=\pm \sqrt{-\frac{a}{3}}$ のとき $x^2=-\frac{a}{3}$ であるから，

$$g\left(\pm \sqrt{-\frac{a}{3}}\right)=\pm \frac{2}{3}a\sqrt{-\frac{a}{3}}+b$$

極大値と極小値の積は，

$$\begin{array}{rl}\left(b+\frac{2}{3}a\sqrt{-\frac{a}{3}}\right)\left(b-\frac{2}{3}a\sqrt{-\frac{a}{3}}\right)& <0\\ b^2-\frac{4}{9}{a}^2\left(-\frac{a}{3}\right)& <0\\ b^2+\frac{4}{27}{a}^3& <0\end{array}$$

$b^2\ge 0$ であるため，$b^2+\frac{4}{27}{a}^3<0$ を満たせば自動的に $a<0$ も満たされる．
ゆえに，求める必要十分条件は

$$\boxed{4a^3+27b^2<0}$$

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本题主要考察了微积分在多项式方程求根分布中的经典应用。第一问利用导数判断函数的单调性与极值点个数。由于奇数次多项式的导数是偶数次多项式，通过简单的符号分析可知其一阶导数最多只有两个实数零点。借助罗尔中值定理的推论，原函数的零点个数不会超过其导数零点个数加一，从而严谨地证明了该方程最多仅有三个实根。第二问是推导三次方程根的判别式的核心过程。一个三次多项式要拥有三个相异实根，几何直观上必须具备一高一低两个极值点且横跨x轴，代数上等价于极大值与极小值异号。通过巧妙运用降次代入的技巧，将极值点坐标代入原函数化简，再令极值乘积小于零，即可得到著名的三次方程判别式条件。这种结合导数与极值判定方程根的分布的方法是数学分析中的常规且高效的手段。