1階微分可能な関数 から構成される以下の行列式を考える．
この の微分 は一般に，
と与えられる．このことを用いて以下の問に答えよ．
(1) 関数 が区間 で連続であり， で微分可能であるとする．このとき，行列式
を考えることによって，区間 内に以下の等式を満たす が存在することを示せ．
(2) 関数 それぞれが の高々3次の多項式であるとき，つぎの行列式を考える．
この の 1階微分 と 2階微分 を求めよ．
(3) は の高々3次の多項式であることを示せ．
解答：
(1)
に および を代入すると，それぞれ行列の第1行と第3行，第2行と第3行が一致する．
は で連続， で微分可能であるから， も で連続， で微分可能．
ロルの定理より， を満たす が存在する．
行列式の微分の性質より， を計算する．第1行と第2行は定数であるから，それらの微分は となる．
したがって， を代入すると，
(証明終)
(2)
与えられた微分公式を用いて を計算する．
第1項は第1行と第2行が一致し，第2項は第2行と第3行が一致するため，ともに となる．
同様に を求める．
第1項は である．また， は高々3次の多項式であるから，その4階微分はすべて となり，第3項も となる．
(3)
をさらに微分して と を求める．
第2項と第3項はそれぞれ同じ行を持つか4階微分が であるため となる．
さらに微分する．
各項とも一致する行を持つか， からなる行を持つため，すべて となる．
4階導関数が恒等的に であるため， は高々3次の多項式である．(証明終)
这组题目非常巧妙地将微积分中的基础定理与线性代数中的行列式性质结合在了一起。行列式对常变量的求导法则在形式上是乘积求导法则（莱布尼茨法则）在多重线性代数中的推广，即一个阶行列式的导数等于个行列式之和，其中每一个行列式是将原行列式的对应一行（或一列）进行求导，而其余行（或列）保持不变。
第一问是一个典型的微积分存在性证明题，考查了罗尔中值定理（Rolle’s Theorem）的应用。通过构造一个以函数变量作为行向量的辅助行列式，并巧妙利用原函数在区间端点的取值作为固定行。当变量代入端点值时，行列式必定会出现两行完全相同的结构，由行列式的交替性可知其值为零，从而自然满足了罗尔定理的应用条件。对其求导并代入中值，即可得到题目要求的等式。
第二和第三问则是关于朗斯基行列式（Wronskian）的变体计算与性质证明。在对这类由连续阶导数构成的行列式进行求导时，由于求导操作通常会使得某一行成为其下一行的导数，这就导致在求导展开式中，大量行列式会出现相邻两行完全相同的情况，从而大幅度简化为零。这种相邻项的抵消机制是计算朗斯基行列式导数时的核心技巧。题目还给定了函数最高为三次多项式的条件，这为证明提供了截断边界，即第四阶导数必然为零。沿着这种求导逻辑层层递进，我们可以清晰地观察到行列式中最高阶导数的累积，当求导至第四阶时，所有展开项要么包含相同的行，要么包含全零的行，使得四阶导数恒为零，这就从根本上严谨证明了原行列式函数最高只能是一个三次多项式。