0497-1995 东大工 数学 WEB

偏微分方程 流体力学

$F(x,y)$ に関する偏微分方程式

$$\frac{{\partial }^{3}F}{\partial y^3}+6\frac{\partial F}{\partial x}\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y^2}-6\frac{\partial F}{\partial y}\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x\partial y}=0\text{\hspace{1em}(b)}$$

について、以下の問に答えよ。ただし $x>0$ とする。

(1) $\eta =x^{m}y$ ($m$ は定数) として、変数 $(x,y)$ の代わりに新しい変数 $(x,\eta )$ を用いることにする。いま、(b) の解として

$$F=x^{p}f(\eta )\text{\hspace{1em}(c)}$$

の形の解を求めることにする ($p$ は定数)。

(1I) (c) を (b) に代入して $f(\eta )$ についての常微分方程式を求めよ。
(1II) $f$ は $\eta$ のみの関数なので、(1I) で得られた常微分方程式には $x$ が含まれてはいけない。このことから $m$ と $p$ の関係式を求めよ。
(1III) 積分

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)}^2\mathrm{d}y$$

が $x$ に依存しないような $m$ と $p$ の関係式を求めよ。
(1IV) (1II) と (1III) で得られた $m$ と $p$ についての関係式を同時に満たす $m$ と $p$ の値を求めよ。

(2) (1IV) で得られた $m$ と $p$ の値を用いて (1I) の常微分方程式を解き、$f(\eta )$ を求めよ。また、この結果を用いて $F(x,y)$ を書け。ただし、境界条件は $y=0$ で

$$\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y^2}=0,\frac{\partial F}{\partial y}=x^{-\frac{1}{3}}$$

で与えられるものとする。

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解答：

(1I)
$F=x^{p}f(\eta ),\eta =x^{m}y$ より、各偏微分を計算する。

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial F}{\partial y}& =x^p{f}^{\prime }(\eta )\frac{\partial \eta }{\partial y}=x^{p+m}{f}^{\prime }(\eta )\\ \frac{{\partial }^{2}F}{\partial y^2}& =x^{p+2m}{f}^{\prime \prime }(\eta )\\ \frac{{\partial }^{3}F}{\partial y^3}& =x^{p+3m}{f}^{\prime \prime \prime }(\eta )\\ \frac{\partial F}{\partial x}& =p{x}^{p-1}f(\eta )+x^p{f}^{\prime }(\eta )(m{x}^{m-1}y)=x^{p-1}(pf(\eta )+m\eta f^{\prime }(\eta ))\\ \frac{{\partial }^{2}F}{\partial x\partial y}& =\frac{\partial }{\partial x}\left(x^{p+m}{f}^{\prime }(\eta )\right)=(p+m)x^{p+m-1}{f}^{\prime }(\eta )+x^{p+m}{f}^{\prime \prime }(\eta )(m{x}^{m-1}y)\\ & =x^{p+m-1}\left((p+m)f^{\prime }(\eta )+m\eta f^{\prime \prime }(\eta )\right)\end{array}$$

これらを (b) に代入する。

$$\begin{array}{rl}& x^{p+3m}{f}^{\prime \prime \prime }+6x^{p-1}(pf+m\eta f^{\prime })x^{p+2m}{f}^{\prime \prime }-6x^{p+m}{f}^{\prime }{x}^{p+m-1}((p+m)f^{\prime }+m\eta f^{\prime \prime })=0\\ & x^{p+3m}{f}^{\prime \prime \prime }+6x^{2p+2m-1}\left(pf{f}^{\prime \prime }+m\eta f^{\prime }{f}^{\prime \prime }-(p+m)(f^{\prime }{)}^2-m\eta f^{\prime }{f}^{\prime \prime }\right)=0\\ & x^{p+3m}{f}^{\prime \prime \prime }+6x^{2p+2m-1}\left(pf{f}^{\prime \prime }-(p+m)(f^{\prime }{)}^2\right)=0\end{array}$$

したがって、求める常微分方程式は

$$\boxed{x^{p+3m}{f}^{\prime \prime \prime }+6x^{2p+2m-1}\left(pf{f}^{\prime \prime }-(p+m)(f^{\prime }{)}^2\right)=0}$$

(1II)
(1I) で得られた方程式が $x$ に依存しない（約分して $x$ が消去される）ためには、$x$ の指数が等しくなければならない。

$$p+3m=2p+2m-1$$

整理して、$m$ と $p$ の関係式は

$$\boxed{p-m=1}$$

(1III)
積分を計算する。$y$ の積分を $\eta$ の積分に置換する（$\mathrm{d}\eta =x^m\mathrm{d}y$）。

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)}^2\mathrm{d}y& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\left(x^{p+m}{f}^{\prime }(\eta )\right)}^2{x}^{-m}\mathrm{d}\eta \\ & =x^{2p+m}{\int }_{-\infty }^{\infty }(f^{\prime }(\eta ){)}^2\mathrm{d}\eta \end{array}$$

この積分が $x$ に依存しないためには、$x$ の指数が $0$ でなければならない。

$$\boxed{2p+m=0}$$

(1IV)
(1II) と (1III) の関係式を連立させる。

$$\{\begin{array}{l}p-m=1\\ 2p+m=0\end{array}$$

これを解いて、

$$\boxed{m=-\frac{2}{3},p=\frac{1}{3}}$$

(2)
得られた $m,p$ の値を (1I) の方程式（の $x$ を消去した形）に代入する。

$$f^{\prime \prime \prime }+6\left(\frac{1}{3}\right)f{f}^{\prime \prime }-6\left(\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\right)(f^{\prime }{)}^2=0$$ $$f^{\prime \prime \prime }+2f{f}^{\prime \prime }+2(f^{\prime }{)}^2=0$$

この方程式は次のように変形できる。

$$f^{\prime \prime \prime }+2(f{f}^{\prime }{)}^{\prime }=0$$

$\eta$ について1回積分する。

$$f^{\prime \prime }+2f{f}^{\prime }=C_1(C_1\text{ は積分定数})$$

ここで境界条件 $y=0$ （すなわち $\eta =0$）を考える。

$$\frac{\partial F}{\partial x}(x,0)=x^{-\frac{2}{3}}\left(\frac{1}{3}f(0)+\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot 0\cdot f^{\prime }(0)\right)=\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}f(0)=0⟹f(0)=0$$ $$\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y^2}(x,0)=x^{-1}{f}^{\prime \prime }(0)=0⟹f^{\prime \prime }(0)=0$$ $$\frac{\partial F}{\partial y}(x,0)=x^{-\frac{1}{3}}{f}^{\prime }(0)=x^{-\frac{1}{3}}⟹f^{\prime }(0)=1$$

$\eta =0$ を $f^{\prime \prime }+2f{f}^{\prime }=C_1$ に代入すると、$0+2(0)(1)=C_1$ より $C_1=0$ となる。
したがって、方程式は

$$f^{\prime \prime }+2f{f}^{\prime }=0$$

さらに変形して積分する。

$$(f^{\prime }+f^2{)}^{\prime }=0⟹f^{\prime }+f^2=C_2$$

$\eta =0$ を代入すると、$1+0^2=C_2$ より $C_2=1$ となる。したがって、

$$f^{\prime }=1-f^2$$

変数分離法で解く。

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}f}{1-f^2}& =\mathrm{d}\eta \\ \int \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+f}+\frac{1}{1-f}\right)\mathrm{d}f& =\int \mathrm{d}\eta \\ \frac{1}{2}\ln \left|\frac{1+f}{1-f}\right|& =\eta +C_3\end{array}$$

$f(0)=0$ より $\frac{1}{2}\ln 1=0+C_3⟹C_3=0$ である。

$$\ln \left|\frac{1+f}{1-f}\right|=2\eta ⟹\frac{1+f}{1-f}=e^{2\eta }$$

これを $f$ について解くと、

$$\boxed{f(\eta )=\frac{e^{2\eta }-1}{e^{2\eta }+1}=\tanh (\eta )}$$

以上より、$F(x,y)=x^{p}f(x^{m}y)$ であるため、

$$\boxed{F(x,y)=x^{\frac{1}{3}}\tanh (x^{-\frac{2}{3}}y)}$$

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这道题目考察了如何使用相似变换（Similarity Transform）求解偏微分方程。这类方程在流体力学中非常常见，特别是与边界层理论和二维层流射流（例如Bickley射流）相关的动量方程。

第一问的核心在于引入自变量的幂次缩放关系，将原本包含两个自变量 $(x,y)$ 的偏微分方程降维成只含单一相似变量 $\eta$ 的常微分方程。为了使方程独立于空间坐标 $x$，各项对 $x$ 的依赖必须完全一致，从而导出了缩放指数 $m$ 和 $p$ 的第一个代数约束。随后，利用动量积分守恒不随 $x$ 变化的物理性质，给出了第二个代数约束，从而可以唯一确定相似变量的形式。

第二问则考察了非线性常微分方程的求解。虽然方程看起来是非线性的高阶常微分方程，但经过合理的凑微分技巧，可以发现它具备精确全微分的结构，从而能够通过连续两次积分实现降阶。结合问题给定的物理边界条件——中心线处的流速特征和对称性条件，确定了积分常数，最终得到了双曲正切函数（$\tanh$）形式的解析解，物理上完美地描述了自由射流的速度剖面分布。