0496-1995 东大工 数学 WEB

常微分方程 线性代数

次の連立微分方程式を以下の設問に従って解け。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{x}=A\mathbf{x}\text{\hspace{1em}(a)}$$
ただし、$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{ccc}1-\alpha & 1& 2\\ 0& 1-\alpha & 3\\ 0& 0& -2\end{array}\right),\alpha$ は実数で $\alpha \ne 3$ とする。

(1) 行列 $A$ の固有値およびそれに対応する線形独立な固有ベクトルをすべて求めよ。
(2) 変数変換 $\mathbf{z}=T\mathbf{x}$ (行列 $T$ は $3\times 3$ の正則行列) によって式 (a) が $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{z}=\hat{A}\mathbf{z}$ となるような変換行列 $T$ および行列 $\hat{A}$ を求めよ。ただし、行列 $\hat{A}$ を行列 $A$ の Jordan 標準形とする。
(3) 行列 $e^{\hat{A}t}$ を計算せよ。
(4) 時刻 $t=0$ での初期値を ${\mathbf{x}}^0=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ とするとき、(a) の解 $\mathbf{x}$ を求めよ。また、$t⟶\infty$ のとき $\mathbf{x}$ が $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ に限りなく近づくための条件を示せ。

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解答：

(1)
行列 $A$ の特性方程式は $|\lambda I-A|=(\lambda -(1-\alpha ){)}^2(\lambda +2)=0$ であるため、固有値は

$$\lambda =1-\alpha \text{ (重解)},\lambda =-2$$

$\lambda =1-\alpha$ のとき、$(A-(1-\alpha )I)\mathbf{x}=0$ より、

$$\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 0& 0& 3\\ 0& 0& \alpha -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$

$\alpha \ne 3$ より $x_2=x_3=0$。対応する線形独立な固有ベクトルは

$$\boxed{{\mathbf{p}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)(\text{固有値 }1-\alpha \text{ に対応})}$$

$\lambda =-2$ のとき、$(A+2I)\mathbf{x}=0$ より、

$$\left(\begin{array}{ccc}3-\alpha & 1& 2\\ 0& 3-\alpha & 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$

$x_3=(\alpha -3{)}^2$ とおくと、$(3-\alpha )x_2=-3(\alpha -3{)}^2⟹x_2=3\alpha -9$。
$(3-\alpha )x_1=-x_2-2x_3=-(3\alpha -9)-2(\alpha -3{)}^2=(\alpha -3)(-3-2\alpha +6)=(\alpha -3)(3-2\alpha )⟹x_1=2\alpha -3$。
対応する線形独立な固有ベクトルは

$$\boxed{{\mathbf{p}}_2=\left(\begin{array}{c}2\alpha -3\\ 3\alpha -9\\ (\alpha -3{)}^2\end{array}\right)(\text{固有値 }-2\text{ に対応})}$$

(2)
固有値 $1-\alpha$ に関する広義固有ベクトル ${\mathbf{p}}_{12}$ を $(A-(1-\alpha )I){\mathbf{p}}_{12}={\mathbf{p}}_1$ より求める。

$$\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 0& 0& 3\\ 0& 0& \alpha -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)⟹u_3=0,u_2=1,u_1=0\text{ (任意)}$$

${\mathbf{p}}_{12}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ と選び、$P=({\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_{12},{\mathbf{p}}_2)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\alpha -3\\ 0& 1& 3\alpha -9\\ 0& 0& (\alpha -3{)}^2\end{array}\right)$ とする。
$\mathbf{z}=T\mathbf{x}$、すなわち $\mathbf{x}=T^{-1}\mathbf{z}$ を与式に代入すると $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{z}=TA{T}^{-1}\mathbf{z}$ となる。$\hat{A}=TA{T}^{-1}$ を Jordan 標準形とするため、$T^{-1}=P$ すなわち $T=P^{-1}$ とすればよい。

$$\boxed{\begin{array}{rl}\hat{A}& =\left(\begin{array}{ccc}1-\alpha & 1& 0\\ 0& 1-\alpha & 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right)\\ T& =P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& \frac{3-2\alpha }{(\alpha -3{)}^2}\\ 0& 1& \frac{-3}{\alpha -3}\\ 0& 0& \frac{1}{(\alpha -3{)}^2}\end{array}\right)\end{array}}$$

(3)
$\hat{A}$ の対角成分と冪零成分の和への分解より、

$$\boxed{e^{\hat{A}t}=\left(\begin{array}{ccc}{e}^{(1-\alpha )t}& t{e}^{(1-\alpha )t}& 0\\ 0& e^{(1-\alpha )t}& 0\\ 0& 0& e^{-2t}\end{array}\right)}$$

(4)
$\mathbf{z}(t)=e^{\hat{A}t}\mathbf{z}(0)=e^{\hat{A}t}T{\mathbf{x}}^0$ であり、$\mathbf{x}(t)=T^{-1}\mathbf{z}(t)=P{e}^{\hat{A}t}T{\mathbf{x}}^0$ となる。

$$T{\mathbf{x}}^0=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& \frac{3-2\alpha }{(\alpha -3{)}^2}\\ 0& 1& \frac{-3}{\alpha -3}\\ 0& 0& \frac{1}{(\alpha -3{)}^2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{{\alpha }^2-8\alpha +12}{(\alpha -3{)}^2}\\ \frac{\alpha -6}{\alpha -3}\\ \frac{1}{(\alpha -3{)}^2}\end{array}\right)$$ $$e^{\hat{A}t}T{\mathbf{x}}^0=\left(\begin{array}{c}\left(\frac{{\alpha }^2-8\alpha +12}{(\alpha -3{)}^2}+\frac{\alpha -6}{\alpha -3}t\right)e^{(1-\alpha )t}\\ \frac{\alpha -6}{\alpha -3}{e}^{(1-\alpha )t}\\ \frac{1}{(\alpha -3{)}^2}{e}^{-2t}\end{array}\right)$$ \begin{aligned} \boldsymbol{x}(t) &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\alpha-3 \\ 0 & 1 & 3\alpha-9 \\ 0 & 0 & (\alpha-3)^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \left( \frac{\alpha^2-8\alpha+12}{(\alpha-3)^2} + \frac{\alpha-6}{\alpha-3}t \right) e^{(1-\alpha)t} \\ \frac{\alpha-6}{\alpha-3} e^{(1-\alpha)t} \\ \frac{1}{(\alpha-3)^2} e^{-2t} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \left( \frac{\alpha^2-8\alpha+12}{(\alpha-3)^