0495-1995 东大工 数学 WEB

微分积分 复变函数

次の式で表される曲線は閉曲線である。

$$x^6+y^6=x^2{y}^3,x\ge 0$$
この閉曲線が囲む領域の面積 $A$ を求めたい。以下の設問に従って、$A$ を求めよ。

(1) この曲線の概形を図示せよ。(極値は示さなくてよい。)
(2) この曲線を極座標で表せ。
(3) $A=\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }\frac{t^6}{(1+t^6{)}^2}\mathrm{d}t$ となることを示せ。
(4) さらに、$A=\frac{1}{12}{\int }_0^{\infty }\frac{\mathrm{d}t}{1+t^6}$ となることを示せ。
(5) 複素積分により、$A$ を求めよ。

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解答：

(1)
$x^6+y^6\ge 0$ かつ $x^2\ge 0$ より、$y^3\ge 0$ すなわち $y\ge 0$ である。
$t=\frac{y}{x}$ とおくと、$x=\frac{t^3}{1+t^6},y=\frac{t^4}{1+t^6}(t\ge 0)$ と媒介変数表示できる。
$t\to 0$ および $t\to \infty$ のとき $x\to 0,y\to 0$ となる。

$$\boxed{\text{第1象限に存在し、原点から出発して原点に戻る、}x\text{軸と}y\text{軸に接する閉曲線}}$$

(2)
極座標 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ を与式に代入する。

$$r^6({\cos }^6\theta +{\sin }^6\theta )=r^5{\cos }^2\theta {\sin }^3\theta$$

$x\ge 0$ かつ (1) より $y\ge 0$ であるため、偏角は $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ の範囲となる。

$$\boxed{r=\frac{{\cos }^2\theta {\sin }^3\theta }{{\cos }^6\theta +{\sin }^6\theta }\left(0\le \theta \le \frac{\pi }{2}\right)}$$

(3)
閉曲線が囲む面積 $A$ は極座標において $A=\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{r}^2\mathrm{d}\theta$ で与えられる。
$t=\tan \theta$ と置換すると、$\theta \to 0$ で $t\to 0$、$\theta \to \frac{\pi }{2}$ で $t\to \infty$ であり、$\mathrm{d}\theta ={\cos }^2\theta \mathrm{d}t$ となる。

$$\begin{array}{rl}{r}^2\mathrm{d}\theta & =\frac{{\cos }^4\theta {\sin }^6\theta }{({\cos }^6\theta +{\sin }^6\theta {)}^2}\mathrm{d}\theta \\ & =\frac{{\cos }^4\theta {\sin }^6\theta }{{\cos }^{12}\theta (1+{\tan }^6\theta {)}^2}\mathrm{d}\theta \\ & =\frac{{\tan }^6\theta }{{\cos }^2\theta (1+t^6{)}^2}\mathrm{d}\theta \\ & =\frac{t^6}{(1+t^6{)}^2}\mathrm{d}t\end{array}$$

したがって、積分範囲と被積分関数を置き換えて次を得る。

$$A=\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }\frac{t^6}{(1+t^6{)}^2}\mathrm{d}t$$

(証明終)

(4)
(3)の積分に部分積分法を適用する。

$$\begin{array}{rl}A& =\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }t\cdot \frac{t^5}{(1+t^6{)}^2}\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2}{\left[t\left(-\frac{1}{6(1+t^6)}\right)\right]}_0^{\infty }-\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }1\cdot \left(-\frac{1}{6(1+t^6)}\right)\mathrm{d}t\\ & =0+\frac{1}{12}{\int }_0^{\infty }\frac{\mathrm{d}t}{1+t^6}\\ & =\frac{1}{12}{\int }_0^{\infty }\frac{\mathrm{d}t}{1+t^6}\end{array}$$

(証明終)

(5)
$I={\int }_0^{\infty }\frac{\mathrm{d}t}{1+t^6}$ とおく。
複素関数 $f(z)=\frac{1}{1+z^6}$ に対して、実軸上の $[0,R]$、円弧 ${\Gamma }_R:z=R{e}^{i\theta }(0\le \theta \le \frac{\pi }{3})$、および線分 $L:z=r{e}^{i\pi /3}(R\ge r\ge 0)$ からなる扇形の閉経路 $C$ を考える。
経路 $C$ 内にある $f(z)$ の極は $z_0=e^{i\pi /6}$ のみであるため、留数定理より以下が成り立つ。

$${\oint }_{C}f(z)\mathrm{d}z=2\pi i\mathrm{Res}(f,z_0)$$

$z_0$ における留数を計算する。

$$\mathrm{Res}(f,z_0)={\frac{1}{(1+z^6{)}^{\prime }}|}_{z=z_0}=\frac{1}{6z_0^5}=\frac{z_0}{6z_0^6}=-\frac{z_0}{6}=-\frac{1}{6}{e}^{i\pi /6}$$

$R\to \infty$ の極限において ${\int }_{{\Gamma }_R}f(z)\mathrm{d}z\to 0$ となるため、経路積分の極限は以下のようになる。

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\infty }f(x)\mathrm{d}x+{\int }_{\infty }^{0}f\left(r{e}^{i\pi /3}\right)e^{i\pi /3}\mathrm{d}r& =2\pi i\left(-\frac{1}{6}{e}^{i\pi /6}\right)\\ I-e^{i\pi /3}{\int }_0^{\infty }\frac{\mathrm{d}r}{1+r^6}& =-\frac{\pi i}{3}{e}^{i\pi /6}\\ (1-e^{i\pi /3})I& =-\frac{\pi i}{3}{e}^{i\pi /6}\end{array}$$

これを $I$ について解く。

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{-\frac{\pi i}{3}{e}^{i\pi /6}}{1-e^{i\pi /3}}=\frac{-\frac{\pi i}{3}}{e^{-i\pi /6}-e^{i\pi /6}}\\ & =\frac{-\frac{\pi i}{3}}{-2i\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)}=\frac{\pi }{6\cdot \frac{1}{2}}=\frac{\pi }{3}\end{array}$$

したがって、求める面積 $A$ は $A=\frac{1}{12}I$ より求まる。

$$\boxed{A=\frac{\pi }{36}}$$

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本题综合考察了多元函数微积分中的极坐标面积计算以及复变函数中的留数定理求广义积分。第一问和第二问要求理解隐函数表示的代数曲线，通过代数式的非负条件判断出图像所在象限，并通过极坐标变换将其转化为关于极角的函数，从而明确曲线的几何特征和面积积分的上下限。第三问是关键的积分变换步，利用极坐标面积公式结合正切函数的换元，将原本包含高次三角函数的积分化简为有理分式的积分形式。第四问运用分部积分法，巧妙地通过求导与积分的搭配，降低了被积函数分母和分子的幂次，进一步简化了表达式。第五问则是非常经典的复变函数积分应用，针对分母为高次多项式的有理函数反常积分，通过在复平面上构造特定夹角的扇形积分闭合路径，利用留数定理绕开实轴上的奇点进行计算。在半径趋于无穷大的极限下，证明圆弧段积分为零，再通过求解单极点处的留数，即可解出实轴上的反常积分值，最终顺利得出该闭曲线围成的面积。