0494-1995 东大工 数学 WEB

向量分析 电磁学理论 拓扑学

3次元空間内の滑らかな連続曲線 $C_1$, および $C_1$ に属さない点 $\mathbf{x}$ に対して、

$$\mathbf{v}(C_1;\mathbf{x})=\frac{1}{4\pi }{\int }_{C_1}({\nabla }_{\mathbf{x}}|\mathbf{x}-{\mathbf{x}}_1{|}^{-1})\times \mathrm{d}{\mathbf{x}}_1$$

と定義する。ただし、${\nabla }_{\mathbf{x}}$ は $\mathbf{x}$ で微分して勾配を求める演算子である。
また、記号 $\times$ はベクトル積（外積）を表す。$C_1$ と交わらない滑らかな連続曲線 $C_2$ を考え、

$$b(C_1,C_2)={\int }_{C_2}\mathbf{v}(C_1;{\mathbf{x}}_2)\cdot \mathrm{d}{\mathbf{x}}_2$$

と定義する。ただし、記号 $\cdot$ は内積を表す。以下の問に答えよ。

(1) デカルト座標系で、${\mathbf{x}}_1(t_1)=(0,0,t_1)$, (ただし $t_1$ は実数)、と表される無限に長い直線 $L$ を考える。$\mathbf{v}(L;\mathbf{x})$ を計算せよ。

(2) デカルト座標系で、${\mathbf{x}}_2(t_2)=(r\cos t_2,r\sin t_2,0)$, $[0\le t_2\le 2\pi ]$ と表される曲線 $C$ を考える。$b(L,C)$ を計算せよ。ただし、$r$ は正の定数、$L$ は前問で定義した直線である。

(3) $C_3$ は閉曲線とする。$C_3$ に含まれない点 $\mathbf{x}$ に対して ${\nabla }_{\mathbf{x}}\times \mathbf{v}(C_3;\mathbf{x})=0$ が成り立つことを示せ。（ベクトル演算の公式 $\nabla \times (\mathbf{p}\times \mathbf{q})=\mathbf{p}(\nabla \cdot \mathbf{q})-\mathbf{q}(\nabla \cdot \mathbf{p})+(\mathbf{q}\cdot \nabla )\mathbf{p}-(\mathbf{p}\cdot \nabla )\mathbf{q}$ を用いてよい。）

(4) $C_4$ と $C_5$ は、各々デカルト座標系

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{x}}_4(t_4)& =(2\cos t_4,2\sin t_4,0)[-\pi \le t_4<\pi ]\\ {\mathbf{x}}_5(t_5)& =(0,a+\cos t_5,\sin t_5)[0\le t_5<2\pi ]\end{array}$$

と表される曲線とする。$b(C_4,C_5)$ を実数 $a$ の関数としてグラフに示せ。($a=\pm 1,\pm 3$) は除いてよい。

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解答：

(1)
点 $\mathbf{x}=(x,y,z)$ とする。与えられた無限半直線 $L$ 上の点は ${\mathbf{x}}_1=(0,0,t_1)$ であり、$\mathrm{d}{\mathbf{x}}_1=(0,0,1)\mathrm{d}{t}_1$ である。
被積分関数内の勾配を計算すると、

$${\nabla }_{\mathbf{x}}|\mathbf{x}-{\mathbf{x}}_1{|}^{-1}={\nabla }_{\mathbf{x}}{\left(x^2+y^2+(z-t_1{)}^2\right)}^{-1/2}=-\frac{(x,y,z-t_1)}{(x^2+y^2+(z-t_1{)}^2{)}^{3/2}}$$

これと $\mathrm{d}{\mathbf{x}}_1=(0,0,1)\mathrm{d}{t}_1$ の外積を求める。

$$-\frac{(x,y,z-t_1)}{(x^2+y^2+(z-t_1{)}^2{)}^{3/2}}\times (0,0,1)\mathrm{d}{t}_1=\frac{(-y,x,0)}{(x^2+y^2+(z-t_1{)}^2{)}^{3/2}}\mathrm{d}{t}_1$$

定義式に代入して積分する。$r=\sqrt{x^2+y^2}$ とおくと、

$$\begin{array}{rl}\mathbf{v}(L;\mathbf{x})& =\frac{1}{4\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{(-y,x,0)}{(r^2+(z-t_1{)}^2{)}^{3/2}}\mathrm{d}{t}_1\\ & =\frac{(-y,x,0)}{4\pi }{\left[\frac{t_1-z}{r^2\sqrt{r^2+(z-t_1{)}^2}}\right]}_{-\infty }^{\infty }\\ & =\frac{(-y,x,0)}{4\pi }\left(\frac{1}{r^2}-\left(-\frac{1}{r^2}\right)\right)=\frac{(-y,x,0)}{2\pi r^2}\end{array}$$

したがって、

$$\boxed{\mathbf{v}(L;\mathbf{x})=\frac{1}{2\pi (x^2+y^2)}(-y,x,0)}$$

(2)
前問の $\mathbf{v}(L;\mathbf{x})$ に ${\mathbf{x}}_2(t_2)=(r\cos t_2,r\sin t_2,0)$ を代入する。
ここで、$x_2^2+y_2^2=r^2{\cos }^2{t}_2+r^2{\sin }^2{t}_2=r^2$ であるため、

$$\mathbf{v}(L;{\mathbf{x}}_2)=\frac{1}{2\pi r^2}(-r\sin t_2,r\cos t_2,0)$$

一方、$\mathrm{d}{\mathbf{x}}_2=(-r\sin t_2,r\cos t_2,0)\mathrm{d}{t}_2$ である。これらを内積して積分する。

$$\begin{array}{rl}b(L,C)& ={\int }_0^{2\pi }\frac{1}{2\pi r^2}(-r\sin t_2,r\cos t_2,0)\cdot (-r\sin t_2,r\cos t_2,0)\mathrm{d}{t}_2\\ & ={\int }_0^{2\pi }\frac{1}{2\pi r^2}(r^2{\sin }^2{t}_2+r^2{\cos }^2{t}_2)\mathrm{d}{t}_2\\ & ={\int }_0^{2\pi }\frac{1}{2\pi }\mathrm{d}{t}_2\end{array}$$

したがって、

$$\boxed{b(L,C)=1}$$

(3)
計算を簡略化するため $\varphi =|\mathbf{x}-{\mathbf{x}}_1{|}^{-1}$ とおく。定義より $\mathbf{v}(C_3;\mathbf{x})=\frac{1}{4\pi }{\oint }_{C_3}({\nabla }_{\mathbf{x}}\varphi \times \mathrm{d}{\mathbf{x}}_1)$ である。
点 $\mathbf{x}$ は $C_3$ 上にないため、$\varphi$ は滑らかである。与えられた公式で $\mathbf{p}={\nabla }_{\mathbf{x}}\varphi$、$\mathbf{q}=\mathrm{d}{\mathbf{x}}_1$ とする。積分変数 ${\mathbf{x}}_1$ に対する微小変位ベクトル $\mathrm{d}{\mathbf{x}}_1$ は $\mathbf{x}$ に依存しないため、$\mathbf{x}$ に関する微分はすべて $0$ となる。すなわち ${\nabla }_{\mathbf{x}}\cdot \mathrm{d}{\mathbf{x}}_1=0$、$({\nabla }_{\mathbf{x}}\varphi \cdot {\nabla }_{\mathbf{x}})\mathrm{d}{\mathbf{x}}_1=0$ である。
公式を適用すると、被積分関数の回転は以下のようになる。

$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{\mathbf{x}}\times ({\nabla }_{\mathbf{x}}\varphi \times \mathrm{d}{\mathbf{x}}_1)& =({\nabla }_{\mathbf{x}}\varphi )({\nabla }_{\mathbf{x}}\cdot \mathrm{d}{\mathbf{x}}_1)-\mathrm{d}{\mathbf{x}}_1({\nabla }_{\mathbf{x}}\cdot {\nabla }_{\mathbf{x}}\varphi )+(\mathrm{d}{\mathbf{x}}_1\cdot {\nabla }_{\mathbf{x}}){\nabla }_{\mathbf{x}}\varphi -({\nabla }_{\mathbf{x}}\varphi \cdot {\nabla }_{\mathbf{x}})\mathrm{d}{\mathbf{x}}_1\\ & =0-\mathrm{d}{\mathbf{x}}_1({\Delta }_{\mathbf{x}}\varphi )+(\mathrm{d}{\mathbf{x}}_1\cdot {\nabla }_{\mathbf{x}}){\nabla }_{\mathbf{x}}\varphi -0\end{array}$$

点 $\mathbf{x}\notin C_3$ においてラプラス方程式 ${\Delta }_{\mathbf{x}}|\mathbf{x}-{\mathbf{x}}_1{|}^{-1}=0$ が成り立つため、第2項も $0$ である。
したがって、残るのは $(\mathrm{d}{\mathbf{x}}_1\cdot {\nabla }_{\mathbf{x}}){\nabla }_{\mathbf{x}}\varphi$ のみとなる。ここで ${\nabla }_{\mathbf{x}}\varphi =-{\nabla }_{{\mathbf{x}}_1}\varphi$ である関係を用いると、

$$(\mathrm{d}{\mathbf{x}}_1\cdot {\nabla }_{\mathbf{x}}){\nabla }_{\mathbf{x}}\varphi =-(\mathrm{d}{\mathbf{x}}_1\cdot {\nabla }_{{\mathbf{x}}_1}){\nabla }_{\mathbf{x}}\varphi =-\mathrm{d}({\nabla }_{\mathbf{x}}\varphi )$$

これは関数 ${\nabla }_{\mathbf{x}}\varphi$ の ${\mathbf{x}}_1$ に沿った全微分である。これを閉曲線 $C_3$ に沿って周回積分すると、

$${\nabla }_{\mathbf{x}}\times \mathbf{v}(C_3;\mathbf{x})=\frac{1}{4\pi }{\oint }_{C_3}\{-\mathrm{d}({\nabla }_{\mathbf{x}}\varphi )\}=0$$

(証明終)

(4)
$b(C_4,C_5)$ は $C_4$ と $C_5$ のガウスの絡み目数（Gauss Linking Number）であり、$C_5$ が $C_4$ を張る曲面を貫通する符号付き回数に等しい。
$C_4$ は $xy$ 平面上の原点を中心とする半径 $2$ の円であり、$z=0$ 上の円盤 $D:x^2+y^2\le 4$ を張る。$t_4$ の進行方向に基づく右ねじの法則より、$D$ の法線ベクトルは $+z$ 方向である。
曲線 $C_5$ は $yz$ 平面（$x=0$）上にある半径 $1$ の円であり、中心は $(0,a,0)$ である。$C_5$ が $z=0$ 平面と交差するのは $\sin t_5=0$、すなわち $t_5=0$ と $t_5=\pi$ のときである。

• $t_5=0$ の交点: ${\mathbf{x}}_5(0)=(0,a+1,0)$。このとき速度ベクトルは $(0,0,1)$（$+z$ 方向）であり、$D$ を正の方向に貫く。交点が $D$ 内にある条件は $|a+1|<2⟹-3<a<1$。
• $t_5=\pi$ の交点: ${\mathbf{x}}_5(\pi )=(0,a-1,0)$。このとき速度ベクトルは $(0,0,-1)$（$-z$ 方向）であり、$D$ を負の方向に貫く。交点が $D$ 内にある条件は $|a-1|<2⟹-1<a<3$。

これらを重ね合わせると、$b(C_4,C_5)$ の値は区間ごとに以下の定数となる。これ自体が求めるグラフの数学的表現である。

$$\boxed{\begin{array}{rl}b(C_4,C_5)& =\{\begin{array}{ll}0& (a<-3)\\ 1& (-3<a<-1)\\ 0& (-1<a<1)\\ -1& (1<a<3)\\ 0& (a>3)\end{array}\\ \text{(横軸 }a\text{、縦軸 }b\text{ の階段状のグラフとなる)}& \end{array}}$$

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本题深刻融合了多变量微积分、经典电磁学与拓扑学的基础概念。

给定的积分式 $\mathbf{v}(C_1;\mathbf{x})$ 在物理上直接对应于毕奥-萨伐尔定律（Biot-Savart Law）。将 $C_1$ 视作一条通有稳定电流的导线，它在周围空间激发的磁场分布恰好等同于该积分式。相应地，第二问求解的 $b(C_1,C_2)$ 对应着物理学中的**安培环路定理（Ampère’s Circuital Law）**的积分形式。第一问计算无限长直导线的磁场结果，呈现出经典的与距离成反比的特征；而第二问在此基础上沿着一个包围该直导线的闭合圆周进行线积分，最终结果为 1，完美吻合了该圆周恰好环绕中心导线一次的拓扑特征。

第三问从数学分析的角度论证了“静磁场是无旋场”这一特性（在无电流源的区域）。利用向量恒等式以及拉普拉斯方程解的性质，证明了旋度算子与积分运算交换后，被积函数蜕化为一个全微分形式。对于任意闭合曲线，全微分的环路积分必定为零。这为标量磁势的引入提供了理论基础。

第四问引入了高斯环绕数（Gauss Linking Number），这是拓扑学中的一个核心不变量，用于度量三维空间中两个闭合曲线相互套叠的次数。因为形变不能改变曲线之间是否相互嵌套的本质，环绕数必定是一个整数。随着圆 $C_5$ 的中心位置参数 $a$ 在 $y$ 轴上滑动，其穿过 $C_4$ 所张成圆盘的位置与方向会发生改变。通过直观分析 $C_5$ 上两个特殊穿越点（分别在 $z$ 的正负方向切入）落在判定区域内的条件，我们就能得到环绕数在不同参数区间表现出的整数量子化阶跃图像，这也是拓扑不变量最典型的特征。