一つの粒子の一次元空間中のランダムウォークを考える。粒子は座標 のどこかにのみいるとする。この粒子は、時刻 で座標 にいたとすると、時刻 では確率 で座標 に、確率 で座標 にいるものとする。ここで、 とし、時刻 は なる整数値のみを考えるものとする。いま、時刻 で粒子は原点 にいるとして、以下の問に答えよ。
(1) を正の偶数とする。時刻 で粒子がはじめて原点に戻る確率を求めよ。
(2) 時刻 で粒子が座標 にいたとする。粒子がその後初めて原点に戻る時刻の平均値を求めよ。
(3) (2) で求めた平均時刻は が に近づく時にどのように振る舞うか説明せよ。
解答：
(1)
( は正の整数) とおく。時刻 で初めて原点に戻る事象は、右へ 歩、左へ 歩進む経路のうち、途中で原点に戻らないものに相当する。
最初の 歩で または へ進み、その後 歩の間、原点を跨がずに初めて原点に到達する経路の数は、カタラン数を用いて以下のように表される。
各経路の発生確率は であるため、求める確率は
(2)
から出発して、初めて に到達するまでの所要時間の期待値を とする。
最初の 歩で確率 で に到達し（所要時間 ）、確率 で に移動する。
空間の並進対称性より、 から に到達するまでの期待時間は である。したがって、以下の再帰方程式が成り立つ。
より である。 より であるため、
求める平均時刻は、時刻 までの ステップに、その後の所要時間 を加えたものであるから、
(3)
(2) で求めた平均時刻 は、 を用いて以下のように表せる。
の条件下で に近づくとき（すなわち ）、分子 となり、分母 となる。
本题主要考察了一维非对称随机游走中的首中时间与返回概率问题。
第一问利用了卡特兰数来计算首次返回原点的路径总数。任意一条在指定时刻首次返回原点的路径，必然在第一步偏离原点，并在接下来的步骤中严格保持在原点的一侧，直到最后一步才回到原点。这等价于经典的格路问题，也可以通过反射原理推导得出路径数。
第二问运用了全概率公式和马尔可夫性的期望条件分解。设从状态 -1 到 0 的期望首中时间为 ，根据空间平移不变性，从状态 -2 到 0 的时间即为 。建立一步转移的递归方程即可求解出 。需要注意的是，题目询问的是返回时的“平均时刻”，因此需要将初始消耗的时间 加上后续的期望时间 。
第三问反映了对称随机游走的经典常返性质。当向左和向右的概率趋于相等时，随机游走趋近于对称随机游走。在对称随机游走中，虽然粒子最终一定会返回原点（即常返性，概率为1），但其返回所需时间的期望值为无穷大（即零常返现象）。因此，当概率趋于一半时，平均返回时刻趋于发散。