0491-1994 东大工 数学 WEB

其他 拓扑学 度量空间 集合论

有限集合に対して、開集合族は次のように定義される。

定義1 有限集合 $X$ の部分集合族 $D$ が与えられ、次の3つの条件を満足するものとする。（ただし、集合族とは、集合を元とする集合である。）
1-1 $X$ および空集合 $\varphi$ は $D$ に属する。
1-2 $O_1\in D,O_2\in D$ ならば、共通集合 $O_1\cap O_2\in D$ である。
1-3 $O_1\in D,O_2\in D$ ならば、和集合 $O_1\cup O_2\in D$ である。
このとき、$D$ を開集合族という。
また、ユークリッド空間でよく知られている距離の概念は、有限集合などの一般の集合に対して次のように定義される。

定義2 集合 $X$ の任意の元 $x,y$ に対して、実数 $d(x,y)$ が対応して、次のような条件を満足するものとする。$x,y,z$ を $X$ の任意の元とするとき、
2-1 $d(x,y)\ge 0$ であり、$x=y$ のときかつその時のみ $d(x,y)=0$ である。
2-2 $d(x,y)=d(y,x)$
2-3 $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$
このとき、$d(x,y)$ を $x$ と $y$ の距離という。

今、有限集合 $X=\{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \}$ を考える、この時、以下の問に答えよ。

(1) $\{\alpha ,\beta \},\{\alpha ,\gamma \},\{\alpha ,\gamma ,\delta \}$ を含む最小の開集合族を求めよ。ただし、最小とは元の数が最少のことを言う。

(2) $X$ の異なる元 $x,y$ について、次のように距離を定めてみる。(1) で求めた開集合族の元で $x$ と $y$ を含むものをさがす。その中で最小のものの大きさから $1$ をひいた数を $x$ と $y$ の間の距離とする。すなわち、$d(x,y)=\min (|O|)-1,x\in O,y\in O,O$ は (1) で求めた開集合族の元。ただし、$|O|$ は $O$ の元の数。この $d(x,y)$ が条件 (2-3) を満たすことを、定義1を用いて示せ。

(3) (2) の定め方により、$\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ の間の距離を求め、表にせよ。ただし、(2) の定め方だけで定まらない距離があれば、定義2に従い適切に定めよ。

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解答：

(1)
与えられた初期の部分集合を $O_1=\{\alpha ,\beta \},O_2=\{\alpha ,\gamma \},O_3=\{\alpha ,\gamma ,\delta \}$ とする。
定義1の条件を満たすように、これらを含む最小の開集合族 $D$ を構成する。
定義1-1より、空集合 $\varphi$ と全体集合 $X=\{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \}$ は $D$ に含まれる。
定義1-2（共通集合の閉包性）より、

$$\begin{array}{rl}{O}_1\cap O_2& =\{\alpha \}\\ O_1\cap O_3& =\{\alpha \}\\ O_2\cap O_3& =\{\alpha ,\gamma \}(=O_2)\end{array}$$

定義1-3（和集合の閉包性）より、

$$\begin{array}{rl}{O}_1\cup O_2& =\{\alpha ,\beta ,\gamma \}\\ O_1\cup O_3& =\{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \}(=X)\\ O_2\cup O_3& =\{\alpha ,\gamma ,\delta \}(=O_3)\end{array}$$

新たに得られた集合 $\{\alpha \},\{\alpha ,\beta ,\gamma \}$ と既存の集合との共通集合や和集合をさらに計算しても、

$$\begin{array}{rl}\{\alpha \}\cup \{\alpha ,\beta \}& =\{\alpha ,\beta \}\\ \{\alpha ,\beta ,\gamma \}\cap \{\alpha ,\gamma ,\delta \}& =\{\alpha ,\gamma \}\end{array}$$

などとなり、これ以上新しい部分集合は生成されない。
したがって、求める最小の開集合族は以下の7つの元からなる。

$$\boxed{D=\left\{\varphi ,\{\alpha \},\{\alpha ,\beta \},\{\alpha ,\gamma \},\{\alpha ,\beta ,\gamma \},\{\alpha ,\gamma ,\delta \},\{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \}\right\}}$$

(2)
$X$ の任意の元 $x,y,z$ をとる。
$x=y,y=z,x=z$ のいずれかが成り立つ場合、距離の非負性 $d(a,b)\ge 0$ と $d(a,a)=0$ より三角不等式 $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$ は自明に成り立つ。
$x,y,z$ が互いに異なる元である場合を考える。
(1)の開集合族 $D$ の中で、$x,y$ を共に含む要素数が最小の集合を $O_{xy}$ とする。
同様に、$y,z$ を共に含む要素数が最小の集合を $O_{yz}$、$x,z$ を共に含む要素数が最小の集合を $O_{xz}$ とする。
与えられた距離の定義より、それぞれ以下のようになる。

$$\begin{array}{rl}d(x,y)& =|O_{xy}|-1\\ d(y,z)& =|O_{yz}|-1\\ d(x,z)& =|O_{xz}|-1\end{array}$$

定義1-3より、$O_{xy}\in D$ かつ $O_{yz}\in D$ ならば $O_{xy}\cup O_{yz}\in D$ である。
$x\in O_{xy}$, $z\in O_{yz}$ であるため、和集合 $O_{xy}\cup O_{yz}$ は $x$ と $z$ を共に含む開集合族 $D$ の元である。
$O_{xz}$ は $x,z$ を共に含む最小の元であるため、要素数について次が成り立つ。

$$|O_{xz}|\le |O_{xy}\cup O_{yz}|$$

また、有限集合の要素数に関する基本的な性質から次が成り立つ。

$$|O_{xy}\cup O_{yz}|=|O_{xy}|+|O_{yz}|-|O_{xy}\cap O_{yz}|$$

ここで、$y$ は $O_{xy}$ と $O_{yz}$ の両方に含まれるため、$y\in O_{xy}\cap O_{yz}$ であり、共通集合は少なくとも1つの元を持つ。すなわち、

$$|O_{xy}\cap O_{yz}|\ge 1$$

これを先の等式に代入すると、

$$|O_{xy}\cup O_{yz}|\le |O_{xy}|+|O_{yz}|-1$$

以上の不等式を繋ぎ合わせると、

$$|O_{xz}|\le |O_{xy}|+|O_{yz}|-1$$

両辺から $1$ を引くと、

$$|O_{xz}|-1\le (|O_{xy}|-1)+(|O_{yz}|-1)$$ $$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$$

となり、定義1の性質を用いて条件(2-3)を満たすことが示された。
(証明終)

(3)
(2)の定め方は「$X$ の異なる元 $x,y$ について」距離を定義しているため、同一の元 $x=y$ についての距離 $d(x,x)$ は定まらない。
問題の指示および定義2の条件(2-1)「$x=y$ のときかつその時のみ $d(x,y)=0$ である」に従い、任意の $x\in X$ について $d(x,x)=0$ と適切に定める。
異なる元同士の距離は、(1) で求めた開集合族 $D$ を用いて計算する。

• $\alpha ,\beta$: 共に含む最小の開集合は $\{\alpha ,\beta \}$ ($|O|=2$)。 $d(\alpha ,\beta )=2-1=1$
• $\alpha ,\gamma$: 共に含む最小の開集合は $\{\alpha ,\gamma \}$ ($|O|=2$)。 $d(\alpha ,\gamma )=2-1=1$
• $\alpha ,\delta$: 共に含む最小の開集合は $\{\alpha ,\gamma ,\delta \}$ ($|O|=3$)。 $d(\alpha ,\delta )=3-1=2$
• $\beta ,\gamma$: 共に含む最小の開集合は $\{\alpha ,\beta ,\gamma \}$ ($|O|=3$)。 $d(\beta ,\gamma )=3-1=2$
• $\beta ,\delta$: 共に含む最小の開集合は $\{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \}$ ($|O|=4$)。 $d(\beta ,\delta )=4-1=3$
• $\gamma ,\delta$: 共に含む最小の開集合は $\{\alpha ,\gamma ,\delta \}$ ($|O|=3$)。 $d(\gamma ,\delta )=3-1=2$
  定義2-2の対称性 $d(x,y)=d(y,x)$ を用いて、これらを表にまとめる。

$$\boxed{\begin{array}{ccccc}d(x,y)& \alpha & \beta & \gamma & \delta \\ \alpha & 0& 1& 1& 2\\ \beta & 1& 0& 2& 3\\ \gamma & 1& 2& 0& 2\\ \delta & 2& 3& 2& 0\end{array}}$$

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这道题目主要考察了拓扑学中开集族（拓扑空间）的基本概念，以及如何利用拓扑结构在有限集上构造满足度量空间公理的距离函数。

第一问要求寻找包含已知子集的最小开集族，这本质上是求解拓扑生成的问题。根据开集族对任意并集和有限交集封闭的性质，只需要将给定的三个子集进行两两交集和并集运算，将得到的新集合继续参与运算，直至不再产生新的子集为止。最后不要忘记根据定义补全空集和全集。这种通过穷举生成闭包的过程在离散数学和有限拓扑中非常典型。

第二问是一道利用集合论基本原理证明三角不等式的证明题。距离被定义为包含两点的最小开集元素数减一。证明的核心在于利用开集族的并集封闭性：包含x和y的最小开集与包含y和z的最小开集，它们的并集一定也是一个开集，并且同时包含了x和z。由于题设条件中定义的最小开集具有“元素数最少”的极小性质，包含x和z的最小开集的元素个数自然不会超过这个并集的元素个数。接着引入集合的容斥原理，因为中间元素y必定属于两个开集的交集，交集非空使得并集的元素数严格小于两个集合元素数之和。通过简单的代数放缩和移项，就能非常巧妙地推导出三角不等式。

第三问是具体计算应用题。一个关键的陷阱是第二问给出的距离计算法则仅针对“不同的元素x和y”。对于同一点的距离，该定义无法给出合理结果。此时需要敏锐地注意到题干中“如果仅由法则(2)无法确定，则根据定义2适当规定”的提示。利用距离公理的第一条“当且仅当两点重合时距离为0”，我们需要主动将对角线上的距离规定为0。随后只需遍历所有相异点对，寻找第一问中求出的包含该两点的基数最小的集合，代入公式即可轻松得出整张距离表。