0490-1994 东大工 数学 WEB

微分积分 偏微分方程 变分法 瑞利商 特征值问题

2次元有界領域 $\mathbf{R}$ 上で一階偏微分可能な関数 $u=u(x,y)$ に対して、汎関数 $J(u)$ と $K(u)$ を次のように定義する。

$$\begin{array}{rl}J(u)& ={\iint }_{\mathbf{R}}\left\{{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)}^2\right\}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ K(u)& ={\iint }_{\mathbf{R}}{u}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}$$

このとき、$\mathbf{R}$ の境界上で $u=0$ という境界条件と、$K(u)=1$ という付加条件のもとで $J(u)$ を最小にする問題に関して、次の問に答えよ。

(1) $\lambda$ を未定のパラメータとして第一変分 $\delta (J-\lambda K)=0$ よりオイラー方程式を導け。

(2) (1) で求めたオイラー方程式で表される固有値問題の固有値を ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,\cdots$ 、それに相応する固有関数を $u_1,u_2,u_3,\cdots$ とする。このとき、境界条件を満足する任意の関数は固有関数の一次結合で表されることを利用して、与えられた条件 $K(u)=1$ のもとで $J(u)$ の最小値は最小固有値に等しいことを示せ。

(3) 境界条件を満たし、必ずしも付加条件を満たさない関数 $u=u(x,y)$ に関して $\frac{J(u)}{K(u)}$ の最小値が (2) における最小固有値に等しいこと、すなわち付加条件を満たす $J(u)$ の最小値に等しいことを示せ。

(4) 2次元領域 $\mathbf{R}$ を $-1\le x\le 1,-1\le y\le 1$ の正方形領域とした場合、与えられた条件のもとでの $J(u)$ の最小値を、近似関数

$$\hat{u}(x,y)=A(1-|x{|}^{\alpha })(1-|y{|}^{\alpha })(\alpha >1)$$

を用いて計算せよ。ただし、$\alpha$ は変分パラメータ、$A$ は定数である。

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解答：

(1)
汎関数 $L(u)=J(u)-\lambda K(u)$ とする。第一変分 $\delta L=0$ より、

$$\delta {\iint }_{\mathbf{R}}\left\{{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)}^2-\lambda u^2\right\}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$$ $$2{\iint }_{\mathbf{R}}\left(u_x\delta u_x+u_y\delta u_y-\lambda u\delta u\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$$

グリーンの定理（部分積分）を用い、境界 $\partial \mathbf{R}$ 上で $\delta u=0$ であることを利用すると、

$${\iint }_{\mathbf{R}}\left(u_x(\delta u{)}_x+u_y(\delta u{)}_y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\oint }_{\partial \mathbf{R}}\delta u\frac{\partial u}{\partial n}\mathrm{d}s-{\iint }_{\mathbf{R}}(u_{xx}+u_{yy})\delta u\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-{\iint }_{\mathbf{R}}(u_{xx}+u_{yy})\delta u\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

これを代入して、

$$-2{\iint }_{\mathbf{R}}\left(u_{xx}+u_{yy}+\lambda u\right)\delta u\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$$

$\delta u$ は領域内で任意であるため、括弧内は $0$ でなければならない。よって求めるオイラー方程式は、

$$\boxed{u_{xx}+u_{yy}+\lambda u=0(\text{または }\Delta u+\lambda u=0)}$$

(2)
固有関数 $u_n$ は $\Delta u_n=-{\lambda }_n{u}_n$ を満たし、互いに直交するため、正規直交系 ${\iint }_{\mathbf{R}}{u}_n{u}_m\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\delta }_{nm}$ をなすとして一般性を失わない。
境界条件を満たす関数 $u$ を $u=\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n{u}_n$ と展開する。
付加条件 $K(u)=1$ より、

$$K(u)={\iint }_{\mathbf{R}}{\left(\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n{u}_n\right)}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n^2=1$$

一方、$J(u)$ は境界上で $u=0$ であることから部分積分により次のように変形できる。

$$\begin{array}{rl}J(u)& =-{\iint }_{\mathbf{R}}u\Delta u\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =-{\iint }_{\mathbf{R}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n{u}_n\right)\left(\sum _{m=1}^{\infty }{c}_m(-{\lambda }_m{u}_m)\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =\sum _{n=1}^{\infty }{\lambda }_n{c}_n^2\end{array}$$

固有値を $0<{\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \cdots$ と順序付けると、

$$J(u)=\sum _{n=1}^{\infty }{\lambda }_n{c}_n^2\ge {\lambda }_1\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n^2={\lambda }_1\cdot 1={\lambda }_1$$

等号は $c_1=1,c_2=c_3=\cdots =0$ のとき成立する。ゆえに $J(u)$ の最小値は最小固有値 ${\lambda }_1$ に等しい。(証明終)

(3)
任意の関数 $u$ (ただし $u\ne 0$) に対して、$v=\frac{u}{\sqrt{K(u)}}$ とおくと、$v$ も境界条件を満たし、

$$K(v)=K\left(\frac{u}{\sqrt{K(u)}}\right)=\frac{1}{K(u)}K(u)=1$$

を満たす。したがって、(2) の結果より $J(v)\ge {\lambda }_1$ である。
一方、$J$ の定義から $J(v)=\frac{1}{K(u)}J(u)$ となるので、

$$\frac{J(u)}{K(u)}\ge {\lambda }_1$$

$u=u_1$ (最小固有値 ${\lambda }_1$ に対応する固有関数) を選べば $\frac{J(u_1)}{K(u_1)}={\lambda }_1$ となり最小値に達する。
すなわち、$\frac{J(u)}{K(u)}$ の最小値は付加条件を満たす $J(u)$ の最小値（${\lambda }_1$）に等しい。(証明終)

(4)
(3)より、求める最小値は近似関数 $\hat{u}$ によるレイリー商 $\frac{J(\hat{u})}{K(\hat{u})}$ をパラメータ $\alpha$ に関して最小化することで得られる。
$f(t)=1-|t{|}^{\alpha }$ とおくと、$\hat{u}(x,y)=Af(x)f(y)$ である。

$$\begin{array}{rl}J(\hat{u})& =A^2{\iint }_{\mathbf{R}}\left\{(f^{\prime }(x)f(y){)}^2+(f(x)f^{\prime }(y){)}^2\right\}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=2A^2\left({\int }_{-1}^1{f}^{\prime }(t{)}^2\mathrm{d}t\right)\left({\int }_{-1}^{1}f(t{)}^2\mathrm{d}t\right)\\ K(\hat{u})& =A^2{\iint }_{\mathbf{R}}(f(x)f(y){)}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y=A^2{\left({\int }_{-1}^{1}f(t{)}^2\mathrm{d}t\right)}^2\end{array}$$

よって、比は

$$\frac{J(\hat{u})}{K(\hat{u})}=\frac{2{\int }_{-1}^1{f}^{\prime }(t{)}^2\mathrm{d}t}{{\int }_{-1}^{1}f(t{)}^2\mathrm{d}t}$$

各積分を計算する（被積分関数は偶関数であるため区間 $[0,1]$ の2倍とする）。

$${\int }_{-1}^1{f}^{\prime }(t{)}^2\mathrm{d}t=2{\int }_0^1(-\alpha t^{\alpha -1}{)}^2\mathrm{d}t=2{\alpha }^2{\left[\frac{t^{2\alpha -1}}{2\alpha -1}\right]}_0^1=\frac{2{\alpha }^2}{2\alpha -1}$$ $${\int }_{-1}^{1}f(t{)}^2\mathrm{d}t=2{\int }_0^1(1-t^{\alpha }{)}^2\mathrm{d}t=2{\left[t-\frac{2t^{\alpha +1}}{\alpha +1}+\frac{t^{2\alpha +1}}{2\alpha +1}\right]}_0^1=2\left(1-\frac{2}{\alpha +1}+\frac{1}{2\alpha +1}\right)=\frac{4{\alpha }^2}{(\alpha +1)(2\alpha +1)}$$

これらを代入して整理すると、目標とする関数 $g(\alpha )$ を得る。

$$g(\alpha )=\frac{J(\hat{u})}{K(\hat{u})}=\frac{2\cdot \frac{2{\alpha }^2}{2\alpha -1}}{\frac{4{\alpha }^2}{(\alpha +1)(2\alpha +1)}}=\frac{(\alpha +1)(2\alpha +1)}{2\alpha -1}=\alpha +2+\frac{3}{2\alpha -1}$$

$\alpha >1$ の範囲で $g(\alpha )$ を最小にする $\alpha$ を求めるため、微分して $0$ と置く。

$$g^{\prime }(\alpha )=1-\frac{6}{(2\alpha -1{)}^2}=0⟹(2\alpha -1{)}^2=6$$

$\alpha >1$ より $2\alpha -1>0$ であるため、$2\alpha -1=\sqrt{6}$、すなわち $\alpha =\frac{1+\sqrt{6}}{2}$ となる。
これを $g(\alpha )$ に代入して最小値を求める。

$$g\left(\frac{1+\sqrt{6}}{2}\right)=\frac{1+\sqrt{6}}{2}+2+\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{5}{2}+\sqrt{6}$$ $$\boxed{\frac{5}{2}+\sqrt{6}}$$

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这道题目是泛函分析和变分法中的经典问题，主要考察拉普拉斯算子特征值问题与瑞利商（Rayleigh Quotient）之间的深刻联系，以及如何利用瑞利-里兹法（Rayleigh-Ritz Method）求偏微分方程第一特征值的近似解。

第一问利用变分法处理带有拉格朗日乘子的积分泛函。通过对泛函求第一变分并使其为零，结合格林公式将导数项转移，可以非常自然地推导出对应的欧拉-拉格朗日方程。这个结果表明，该泛函极值问题等价于齐次亥姆霍兹方程的边界值问题。

第二问和第三问构成了瑞利原理的核心证明。第二问借助特征函数的正交完备性，将泛函的求值转化为了傅里叶系数平方的加权和。由于第一特征值是所有特征值中最小的，这使得泛函的值必然大于或等于第一特征值，证明了在特定模长约束下泛函的极小值就是系统的最低能态（最小特征值）。第三问进一步去除了函数的模长约束，构造出通用的瑞利商。通过简单的放缩与代换，证明了无论函数是否归一化，其瑞利商的下确界依然是最小特征值。

第四问是近似计算方法的直接应用。在正方形区域上求解析解往往较复杂，瑞利-里兹法提供了一种非常巧妙的工程逼近手段。通过猜测一个满足边界条件的含参试探函数（这里是带指数 $\alpha$ 的多项式型函数），计算其对应的瑞利商，就可以得到一个纯参数的代数式。因为任何试探函数的瑞利商都必然大于或等于真实的最小特征值，所以我们只需通过普通的微积分求导方法，找到使该代数式最小的参数 $\alpha$。这种方法不仅能够大大简化求解偏微分方程特征值的难度，而且给出的上限近似值往往精度极高（本题中该近似值约为4.9495，与真实的解析特征值4.9348极其吻合）。