0489-1994 东大工 数学 WEB

线性代数 特征值与特征向量 正交矩阵 瑞利商

行列 $A$ を

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right)$$

とするとき、実数ベクトル $\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ X_3\end{array}\right)\mathbf{x}\ne \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ の関数

$$f(\mathbf{x})=\frac{{\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}}{{\mathbf{x}}^T\mathbf{x}}=\frac{2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1{x}_2-2x_2{x}_3}{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$$

の最大値と最小値を求めたい。ただし ${\mathbf{x}}^T$ は $\mathbf{x}$ の転置である。

(1) $P^{-1}AP=\Lambda$ を満たす直交行列 $P$ と対角行列

$$\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& 0& 0\\ 0& {\lambda }_2& 0\\ 0& 0& {\lambda }_3\end{array}\right)$$

を求めよ。ただし、${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge {\lambda }_3$ とする。

(2) $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$ の変換で定まるベクトル $\mathbf{y}=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)$ を用いて $f(\mathbf{x})$ を表現し、$f(\mathbf{x})$ の最大値および最小値を求めよ。

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解答：

(1)
行列 $A$ の固有値を求めるための特性方程式は、

$$|A-\lambda I|=\left|\begin{array}{ccc}2-\lambda & -1& 0\\ -1& 2-\lambda & -1\\ 0& -1& 2-\lambda \end{array}\right|=0$$

行列式を展開して整理すると、

$$(2-\lambda )\left\{(2-\lambda {)}^2-1\right\}-(-1)\left\{-(2-\lambda )\right\}=0$$ $$(2-\lambda )\left\{(2-\lambda {)}^2-2\right\}=0$$

これを解くと、固有値は $\lambda =2,2+\sqrt{2},2-\sqrt{2}$ となる。
${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge {\lambda }_3$ の条件より、

$${\lambda }_1=2+\sqrt{2},{\lambda }_2=2,{\lambda }_3=2-\sqrt{2}$$

したがって、対角行列 $\Lambda$ は

$$\boxed{\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}2+\sqrt{2}& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2-\sqrt{2}\end{array}\right)}$$

次に、各固有値に対する固有ベクトルを求める。
${\lambda }_1=2+\sqrt{2}$ のとき、$(A-{\lambda }_{1}I)\mathbf{x}=0$ より、

$$\left(\begin{array}{ccc}-\sqrt{2}& -1& 0\\ -1& -\sqrt{2}& -1\\ 0& -1& -\sqrt{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$

これより固有ベクトルの一つは $(1,-\sqrt{2},1{)}^T$。正規化して、

$${\mathbf{u}}_1=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1\\ -\sqrt{2}\\ 1\end{array}\right)$$

${\lambda }_2=2$ のとき、$(A-{\lambda }_{2}I)\mathbf{x}=0$ より、

$$\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ -1& 0& -1\\ 0& -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$

これより固有ベクトルの一つは $(1,0,-1{)}^T$。正規化して、

$${\mathbf{u}}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$$

${\lambda }_3=2-\sqrt{2}$ のとき、$(A-{\lambda }_{3}I)\mathbf{x}=0$ より、

$$\left(\begin{array}{ccc}\sqrt{2}& -1& 0\\ -1& \sqrt{2}& -1\\ 0& -1& \sqrt{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$

これより固有ベクトルの一つは $(1,\sqrt{2},1{)}^T$。正規化して、

$${\mathbf{u}}_3=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1\\ \sqrt{2}\\ 1\end{array}\right)$$

これらを列ベクトルとして並べた直交行列 $P$ は、

$$\boxed{P=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{2}\\ -\frac{\sqrt{2}}{2}& 0& \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{2}\end{array}\right)}$$

(2)
$\mathbf{x}=P\mathbf{y}$ の関係を用いる。$P$ は直交行列であるため $P^{T}P=I$ であり、また (1) より $P^{T}AP=P^{-1}AP=\Lambda$ である。
関数の分母は、

$${\mathbf{x}}^T\mathbf{x}=(P\mathbf{y}{)}^T(P\mathbf{y})={\mathbf{y}}^T{P}^{T}P\mathbf{y}={\mathbf{y}}^T\mathbf{y}=y_1^2+y_2^2+y_3^2$$

関数の分子は、

$${\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}=(P\mathbf{y}{)}^{T}A(P\mathbf{y})={\mathbf{y}}^T{P}^{T}AP\mathbf{y}={\mathbf{y}}^T\Lambda \mathbf{y}={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+{\lambda }_3{y}_3^2$$

したがって、$f(\mathbf{x})$ を $\mathbf{y}$ で表現すると、

$$\boxed{f(\mathbf{x})=\frac{(2+\sqrt{2})y_1^2+2y_2^2+(2-\sqrt{2})y_3^2}{y_1^2+y_2^2+y_3^2}}$$

$\mathbf{x}\ne 0$ より $\mathbf{y}\ne 0$ である。$y_1^2+y_2^2+y_3^2>0$ であるため、

$${\lambda }_3(y_1^2+y_2^2+y_3^2)\le {\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+{\lambda }_3{y}_3^2\le {\lambda }_1(y_1^2+y_2^2+y_3^2)$$

両辺を $y_1^2+y_2^2+y_3^2$ で割ると、

$${\lambda }_3\le f(\mathbf{x})\le {\lambda }_1$$ $$2-\sqrt{2}\le f(\mathbf{x})\le 2+\sqrt{2}$$

最大値は $y_2=y_3=0,y_1\ne 0$ のときに達成され、最小値は $y_1=y_2=0,y_3\ne 0$ のときに達成される。
よって、

$$\boxed{\text{最大値}:2+\sqrt{2},\text{最小値}:2-\sqrt{2}}$$

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这道题目考察的是线性代数中的经典内容，即实对称矩阵的正交相似对角化以及瑞利商的最值问题。瑞利商是指形如二次型除以向量内积的函数，广泛应用于振动学、量子力学等领域的特征值估算中。

第一部分要求求解矩阵的特征值与正交矩阵。对于任何实对称矩阵，一定可以找到一个正交矩阵将其对角化，且对角线上的元素即为该矩阵的特征值。通过求解特征方程可以得出三个不同的特征值，将其按从大到小的顺序排列便可得到对角矩阵。接着，分别求解这三个特征值对应的特征向量，并将它们作单位化处理（即除以其本身的范数）。由于实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必然互相正交，这三个单位特征向量直接构成了正交矩阵的列向量。

第二部分利用第一部分求得的正交矩阵进行坐标变换。将原变量替换为正交变换后的新变量，可以将原二次型转化为只含平方项的标准型。正交变换的一个重要性质是保持向量的长度不变，因此分母的内积形式在新坐标下依然保持简单的平方和形式。将分子分母代入后，瑞利商就化简为了以特征值为权重的加权平均形式。根据加权平均的性质，这个商的最大值必然等于最大的权重（即最大特征值），最小值等于最小的权重（即最小特征值），这也就清晰地证明了矩阵的瑞利商的取值范围被其最大和最小特征值所界定。