0487-1994 东大工 数学 WEB

复变函数 泰勒展开 共形映射 解析延拓

複素級数の収束領域を変数変換によって拡大することを考える。次の問に答えよ。ただし、$z$は複素変数で、$\log$は対数関数の主値を表すものとする。

(1) $\log (1+z)$を$z=0$を中心とするTaylor級数に展開せよ。また、この級数は$z$平面のどのような領域で収束するか。

(2) 変数$z=\frac{2w}{1-w}$によって、$w$平面の単位円の内部$|w|<1$は$z$平面のどのような領域に写像されるか。図示せよ。

(3) $z=\frac{2w}{1-w}$を$\log (1+z)$に代入し、それを$w=0$を中心とするTaylor級数に展開せよ。また、この級数は$w$平面のどのような領域で収束するか。

(4) $z$の値をあたえたとき$z=\frac{2w}{1-w}$の関係を通じて1つの$w$の値が決まる。この$w$を(3)の級数に代入すると、(1)とは異なる級数による$\log (1+z)$の表示が得られる。この表示を$z$の関数として書き下せ。また、それが収束するのは$z$が$z$平面のどのような領域にあるときか。

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解答：

(1)
関数 $\log (1+z)$ の導関数は $\frac{1}{1+z}$ である。$|z|<1$ において、等比級数の和の公式を用いて展開すると、

$$\frac{1}{1+z}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{z}^n$$

これを $0$ から $z$ まで積分すると、

$$\begin{array}{rl}\log (1+z)& ={\int }_0^z\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{\zeta }^n\mathrm{d}\zeta \\ & =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n+1}{z}^{n+1}\\ & =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{z}^n\end{array}$$ $$\boxed{\log (1+z)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{z}^n}$$

この級数は特異点 $z=-1$ までの距離が収束半径となるため、収束領域は

$$\boxed{|z|<1}$$

(2)
与えられた変換式 $z=\frac{2w}{1-w}$ を $w$ について解く。

$$\begin{array}{rl}z(1-w)& =2w\\ z& =w(z+2)\\ w& =\frac{z}{z+2}\end{array}$$

領域 $|w|<1$ に代入すると、

$$\begin{array}{rl}\left|\frac{z}{z+2}\right|& <1\\ |z|& <|z+2|\end{array}$$

$z=x+iy$ （$x,y$ は実数）と置くと、

$$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2& <(x+2{)}^2+y^2\\ x^2& <x^2+4x+4\\ -4& <4x\\ x& >-1\end{array}$$

したがって、写像される領域は実部が $-1$ より大きい右半平面となる。（図示は省略する）

$$\boxed{\mathrm{Re}(z)>-1}$$

(3)
$z=\frac{2w}{1-w}$ のとき、$1+z=1+\frac{2w}{1-w}=\frac{1+w}{1-w}$ であるから、

$$\log (1+z)=\log \left(\frac{1+w}{1-w}\right)=\log (1+w)-\log (1-w)$$

(1) の結果を利用してそれぞれ $w=0$ の周りで展開すると、

$$\begin{array}{rl}\log (1+w)& =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{w}^n\\ \log (1-w)& =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}(-w{)}^n=-\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}{w}^n\end{array}$$

両者の差をとると、

$$\begin{array}{rl}\log (1+z)& =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}+1}{n}{w}^n\end{array}$$

$n$ が偶数のときは係数が $0$ となり、$n$ が奇数のときは係数が $\frac{2}{n}$ となる。$n=2k-1$ ($k=1,2,3,\dots$) と置くと、

$$\boxed{\log (1+z)=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{2}{2k-1}{w}^{2k-1}}$$

収束領域について、$\log (1+w)$ は $|w|<1$ で収束し、$\log (1-w)$ も $|w|<1$ で収束する。したがって、これらを合わせた級数の収束領域は、

$$\boxed{|w|<1}$$

(4)
(2) より $w=\frac{z}{z+2}$ である。これを (3) で得られた級数に代入すると、

$$\boxed{\log (1+z)=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{2}{2k-1}{\left(\frac{z}{z+2}\right)}^{2k-1}}$$

この級数が収束する条件は、(3) の級数が $w$ について収束する条件 $|w|<1$ を満たすことである。
(2) の結果から、$|w|<1$ は $z$ 平面において $\mathrm{Re}(z)>-1$ と同値である。したがって、この新しい級数による表示が収束する $z$ の領域は、

$$\boxed{\mathrm{Re}(z)>-1}$$

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这道题考察了复变函数中的泰勒展开、共形映射以及通过变量代换扩大解析函数级数收敛域的方法。这是解析延拓思想的一种直观体现。

第一问是基础的对数函数泰勒展开，通过对其导数进行几何级数展开后再积分即可得到，其收敛域受制于距离展开中心最近的奇点，也就是负一处的对数分支点，因此收敛半径为一。

第二问涉及分式线性映射，通过解出反函数并将其代入原区域的不等式中，可以将单位圆内部映射到实部大于负一的右半平面。这一步清晰地展示了变量代换对复平面几何形状的改变。

第三问利用对数函数的性质将复合函数拆分为两个对数函数之差，结合第一问的展开式，巧妙地消去了偶次项，得到了一个仅含奇次项的级数。其收敛域依然由两个对数项各自的奇点决定，即正负一，故收敛域仍为单位圆内部。

第四问将上述成果综合，把中间变量替换回原变量，得到原对数函数的一个全新的级数表达式。由于第三问的级数在中间变量的单位圆内收敛，根据第二问建立的映射关系，这个新级数在原变量平面上的收敛域就自然地变成了实部大于负一的右半平面。通过这种巧妙的变量代换，成功将对数函数级数表示的有效计算区域从原本局促的单位圆扩大到了整个右半平面。