0486-1994 东大工 数学 WEB

向量分析 保守场 线积分 标量势

3次元空間の単連結な領域においてベクトル関数 $\mathbf{A}$ とその一階の偏導関数が連続であるとする。この領域内において以下の問に答えよ。

(1) 「任意の点 ${\mathrm{P}}_a$, 点 ${\mathrm{P}}_b$ について、線積分 ${\int }_{{\mathrm{P}}_a}^{{\mathrm{P}}_b}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$ の値が点 ${\mathrm{P}}_a$, 点 ${\mathrm{P}}_b$ の座標のみによって定まり途中の経路の選び方によらない」ための必要十分条件は、「任意の閉曲線の上で $\oint \mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=0$ である」ことを示せ。
また、このことを使って「$\mathrm{rot}\mathbf{A}=0$ のとき、任意の点 ${\mathrm{P}}_a$, 点 ${\mathrm{P}}_b$ について、線積分 ${\int }_{{\mathrm{P}}_a}^{{\mathrm{P}}_b}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$ の値は点 ${\mathrm{P}}_a$, 点 ${\mathrm{P}}_b$ の座標によってのみ定まり途中の経路の選び方によらない」ことを示せ。

(2) $\mathrm{rot}\mathbf{A}=0$ のとき、$\varphi (x,y,z)={\int }_{{\mathrm{P}}_0}^{\mathrm{P}}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$ は $\mathrm{grad}\varphi =\mathbf{A}$ を満たすことを示せ。ただし点 ${\mathrm{P}}_0$, 点 $\mathrm{P}$ の座標をそれぞれ $(0,0,0),(x,y,z)$ とする。

(3) $\mathbf{A}=(2xy,x^2+z^2,2yz)$ のとき、${\int }_{{\mathrm{P}}_1}^{{\mathrm{P}}_2}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$ を求めよ。ただし点 ${\mathrm{P}}_1$, 点 ${\mathrm{P}}_2$ の座標をそれぞれ $(1,1,1),(2,2,2)$ とする。

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解答：

(1)
$(\Rightarrow )$
任意の閉曲線 $C$ 上の異なる2点 ${\mathrm{P}}_a,{\mathrm{P}}_b$ をとる。$C$ は ${\mathrm{P}}_a$ から ${\mathrm{P}}_b$ への経路 $C_1$ と ${\mathrm{P}}_b$ から ${\mathrm{P}}_a$ への経路 $C_2$ に分割できる。
条件より積分は経路によらないため、$-C_2$ を ${\mathrm{P}}_a$ から ${\mathrm{P}}_b$ への経路とすると、

$${\int }_{C_1}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}={\int }_{-C_2}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=-{\int }_{C_2}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$$ $${\oint }_C\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}={\int }_{C_1}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}+{\int }_{C_2}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=0$$

$(\Leftarrow )$
${\mathrm{P}}_a$ から ${\mathrm{P}}_b$ への任意の2つの経路を $C_1,C_2$ とする。$C=C_1\cup (-C_2)$ は閉曲線となる。

$$0={\oint }_C\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}={\int }_{C_1}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}+{\int }_{-C_2}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}={\int }_{C_1}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}-{\int }_{C_2}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$$ $${\int }_{C_1}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}={\int }_{C_2}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$$

(証明終)

後半の証明：
任意の閉曲線 $C$ と、それを境界とする曲面 $S$ について、ストークスの定理より、

$${\oint }_C\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}={\iint }_S(\mathrm{rot}\mathbf{A})\cdot \mathbf{n}\mathrm{d}S$$

$\mathrm{rot}\mathbf{A}=0$ であるから、

$${\oint }_C\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=0$$

前半の結論より、線積分の値は途中の経路の選び方によらない。
(証明終)

(2)
$\mathrm{rot}\mathbf{A}=0$ より積分は経路に依存しない。$x$ に関する偏微分を考えるため、終端付近で $x$ 軸に平行な経路をとる。

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial \varphi }{\partial x}& =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\varphi (x+\Delta x,y,z)-\varphi (x,y,z)}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{\Delta x}{\int }_{(x,y,z)}^{(x+\Delta x,y,z)}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}\end{array}$$

この区間で $\mathrm{d}\mathbf{r}=(\mathrm{d}\xi ,0,0)$ ととれるため、

$$\frac{\partial \varphi }{\partial x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{\Delta x}{\int }_x^{x+\Delta x}{A}_x(\xi ,y,z)\mathrm{d}\xi =A_x(x,y,z)$$

同様に $\frac{\partial \varphi }{\partial y}=A_y,\frac{\partial \varphi }{\partial z}=A_z$ を得る。

$$\mathrm{grad}\varphi =\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x},\frac{\partial \varphi }{\partial y},\frac{\partial \varphi }{\partial z}\right)=(A_x,A_y,A_z)=\mathbf{A}$$

(証明終)

(3)
$\mathbf{A}=\mathrm{grad}\varphi$ となるスカラー関数 $\varphi$ を求める。

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial \varphi }{\partial x}=2xy& ⟹\varphi =x^{2}y+f(y,z)\\ \frac{\partial \varphi }{\partial y}=x^2+z^2& ⟹x^2+\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+z^2⟹f=y{z}^2+g(z)\\ \frac{\partial \varphi }{\partial z}=2yz& ⟹2yz+g^{\prime }(z)=2yz⟹g(z)=C\end{array}$$

$C=0$ として $\varphi (x,y,z)=x^{2}y+y{z}^2$ を得る。

$$\begin{array}{rl}{\int }_{{\mathrm{P}}_1}^{{\mathrm{P}}_2}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}& =\varphi (2,2,2)-\varphi (1,1,1)\\ & =(2^2\cdot 2+2\cdot 2^2)-(1^2\cdot 1+1\cdot 1^2)\\ & =16-2\end{array}$$ $$\boxed{14}$$

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这道题目主要考察了向量分析中保守场的基本性质及其相关的线积分计算。当一个向量场在单连通区域内的旋度为零时，借助斯托克斯定理可以证明该向量场沿任意闭合曲线的线积分为零，这在数学上等价于线积分的值与路径无关，这也是保守场的充要条件。在此基础上可以构造出一个标量势函数，由于积分与路径选取无关，在证明该势函数的梯度等于原向量场时，可以直接选取平行于坐标轴的特殊直线段作为积分路径，利用微积分基本定理对其求偏导，即可轻松得证。在具体的应用计算中，一旦确认或根据题意已知向量场的旋度为零，就无需对空间路径进行复杂的参数化，而是可以通过解偏微分方程组的方法直接还原出标量势函数。随后将线积分转化为该势函数在终点和起点的函数值之差，这种方法能够大幅度简化三维空间中的线积分运算过程。