0484-1993 东大工 数学 WEB

复变函数 保角映射 分式线性变换

一般に $a,b,c,d$ を任意の複素数とするとき、$w=\frac{az+b}{cz+d}$ ($ad-bc\ne 0$) で定義される $z$ の複素関数 $w=f(z)$ を $z$ の1次 (分数) 関数、それによる $z$ 平面から $w$ 平面への変換(写像)を1次変換(写像)という。以下の問に答えよ。

(1) $w=\frac{1}{z+3}$ によって領域 $\{z=x+iy\mid 0<y<A(\text{実数})\}$ は $w$ 平面上へどのように写像されるか、図示せよ。

(2) $z$ 平面の実軸を $w$ 平面の単位円 $|w|=1$ へ写像する1次変換を求めよ。

(3) $z$ 平面の単位円 $|z|=1$ を $w$ 平面の単位円 $|w|=1$ へ写像する1次変換を求めよ。

(4) (3) の1次変換が単位円内を単位円内へ写像する条件は何か。

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解答：

(1)
$w=u+iv(u,v\in \mathbb{R})$ とおく。$w=\frac{1}{z+3}$ より、

$$z+3=\frac{1}{w}=\frac{u-iv}{u^2+v^2}$$

$z=x+iy$ であるから、両辺の虚部を比較すると

$$y=\frac{-v}{u^2+v^2}$$

領域の条件 $0<y<A$ に代入すると、

$$0<\frac{-v}{u^2+v^2}<A$$

左側の不等式 $0<\frac{-v}{u^2+v^2}$ より、$v<0$ である。
右側の不等式 $\frac{-v}{u^2+v^2}<A$ より、

$$\begin{array}{rl}{u}^2+v^2& >-\frac{v}{A}\\ u^2+v^2+\frac{v}{A}& >0\\ u^2+{\left(v+\frac{1}{2A}\right)}^2& >{\left(\frac{1}{2A}\right)}^2\end{array}$$

したがって、求める写像は $w$ 平面上の以下の領域である（図示の代わりに関係式と形状を記す）。

$$\boxed{\begin{array}{rl}& u^2+{\left(v+\frac{1}{2A}\right)}^2>{\left(\frac{1}{2A}\right)}^2\\ & \text{かつ }v<0\end{array}}$$

（※ $w$ 平面において、中心 $(0,-\frac{1}{2A})$、半径 $\frac{1}{2A}$ の円の外部であり、かつ下半平面となる領域。）

(2)
$z$ 平面の実軸 $z=\bar{z}$ を $|w|=1$ に写す。
$w=\frac{az+b}{cz+d}$ において $|w{|}^2=1$ とすると、

$$|az+b{|}^2=|cz+d{|}^2$$

$z$ が実数のとき、この等式が常に成り立つ。これは $z$ から分子の零点 $-b/a$ までの距離と、分母の零点 $-d/c$ までの距離が常に等しいことを意味する。
実軸上の任意の点から等距離にある2点は実軸に関して対称であるため、分子と分母の零点は互いに共役となる。
零点を $\alpha \notin \mathbb{R}$ とすれば、

$$w=K\frac{z-\alpha }{z-\bar{\alpha }}$$

と表せる。$z\to \infty$ のとき $|w|=|K|=1$ となるため、$K=e^{i\theta }(\theta \in \mathbb{R})$ とおける。

$$\boxed{w=e^{i\theta }\frac{z-\alpha }{z-\bar{\alpha }}(\alpha \notin \mathbb{R},\theta \in \mathbb{R})}$$

(3)
$z$ 平面の単位円 $|z|=1⟺z\bar{z}=1$ を $|w|=1$ に写す。
$|az+b{|}^2=|cz+d{|}^2$ より、

$$(az+b)(\bar{a}\bar{z}+\bar{b})=(cz+d)(\bar{c}\bar{z}+\bar{d})$$

$|z|=1$ 上で $\bar{z}=1/z$ を代入し両辺に $z$ を掛けると、

$$a\bar{b}{z}^2+(|a{|}^2+|b{|}^2)z+\bar{a}b=c\bar{d}{z}^2+(|c{|}^2+|d{|}^2)z+\bar{c}d$$

任意の $z$ で成立するため、係数を比較して

$$\begin{array}{rl}a\bar{b}& =c\bar{d}\\ |a{|}^2+|b{|}^2& =|c{|}^2+|d{|}^2\end{array}$$

これを満たす変換は、定数 $\alpha \in \mathbb{C}(|\alpha |\ne 1)$ および実数 $\theta$ を用いて次のように表される（対称点 $z=\alpha$ と $z=1/\bar{\alpha }$ を用いる）。

$$\boxed{w=e^{i\theta }\frac{z-\alpha }{\bar{\alpha }z-1}(|\alpha |\ne 1,\theta \in \mathbb{R})}$$

(4)
(3) の変換で、単位円内 $|z|<1$ が $|w|<1$ に写像される条件を求める。
境界 $|z|=1$ はすでに $|w|=1$ に写像されているため、領域内部の1点が内部に写像されれば十分である。
$z=0$ を代入すると、

$$w(0)=e^{i\theta }\frac{-\alpha }{-1}=\alpha e^{i\theta }$$

$|w(0)|<1$ となればよいため、

$$|\alpha e^{i\theta }|<1$$ $$\boxed{|\alpha |<1}$$

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本题考查复变函数中的分式线性变换也就是默比乌斯变换以及保角映射的基本计算与性质。

第一问通过分离变量的实部和虚部，利用给定的定义域边界条件反求像域的边界关系式。在推导过程中要注意不等式方向的变化以及非零条件的限制，最终通过配方可以明确对应的几何图形是一个圆的外部与下半平面的交集。受限于纯文本作答形式无法直接绘图，因此在解答中以精确的代数不等式和辅助文字描述来替代图示。

第二问和第三问涉及复平面上非常经典的标准映射形式推导。将实轴映射为单位圆时，所用的分式线性变换需要满足分子和分母的根关于实轴对称；将单位圆映射为单位圆时，分子分母的根需要关于单位圆对称，也就是利用反演点原理来构造。这两种标准变换形式是保角映射理论中非常核心的结论。

第四问利用了解析函数映射的开映射定理和边界对应原则。对于分式线性变换，当边界已经严密对应后，内部区域的一一对应关系只需通过检验内部任意一点的像即可迅速确定。这里直接选取原点代入变换表达式中，要求其像的模长严格小于一，从而极其简明地给出了映射成立的充要条件。