0483-1993 东大工 数学 WEB

微分积分 多重积分 高斯积分 n维球体积

$$I_n={\int }_{-\infty }^{\infty }\cdots {\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a(x_1^2+\cdots +x_n^2)}\mathrm{d}{x}_1\cdots \mathrm{d}{x}_n(a>0)$$

を 2 通りの方法で計算することによって $n$ 次元空間における半径 $r$ の球の体積 $V_n(r)$ を求める。以下の問に答えよ。

(1) ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{x}^2}\mathrm{d}x$ の値を求めよ。

(2) (1) の結果を用いて $I_n$ の値を求めよ。

(3) $V_n(r)=C_n{r}^n$ と表されるとすると、その球の表面積 $S_n(r)$ は $S_n(r)=n{C}_n{r}^{n-1}$ と表される。このことを用いて $I_n$ の値を求めよ。ただし、結果には $\Gamma$ 関数 $\Gamma (m)={\int }_0^{\infty }{e}^{-x}{x}^{m-1}\mathrm{d}x$ を含んでよい。

(4) (2), (3) の結果より、$V_n(r)$ の値を求めよ。

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解答：

(1)
求める積分を $I$ とおく。

$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{x}^2}\mathrm{d}x$$

$I$ の 2 乗を考えると、二重積分として以下のように表せる。

$$\begin{array}{rl}{I}^2& =\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{x}^2}\mathrm{d}x\right)\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{y}^2}\mathrm{d}y\right)\\ & ={\iint }_{{\mathbb{R}}^2}{e}^{-a(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}$$

ここで、極座標変換 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ を行う。積分領域は ${\mathbb{R}}^2$ 全体なので $0\le r<\infty ,0\le \theta \le 2\pi$ となり、面積要素は $\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$ である。

$$\begin{array}{rl}{I}^2& ={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\infty }{e}^{-a{r}^2}r\mathrm{d}r\\ & ={\left[\theta \right]}_0^{2\pi }{\left[-\frac{1}{2a}{e}^{-a{r}^2}\right]}_0^{\infty }\\ & =2\pi \cdot \left(0-\left(-\frac{1}{2a}\right)\right)\\ & =\frac{\pi }{a}\end{array}$$

$e^{-a{x}^2}>0$ より $I>0$ であるため、

$$I=\sqrt{\frac{\pi }{a}}$$ $$\boxed{\sqrt{\frac{\pi }{a}}}$$

(2)
多重積分の被積分関数は各変数の関数の積として分離できるため、$I_n$ は (1) の 1 次元積分の $n$ 乗として計算できる。

$$\begin{array}{rl}{I}_n& ={\int }_{-\infty }^{\infty }\cdots {\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a(x_1^2+\cdots +x_n^2)}\mathrm{d}{x}_1\cdots \mathrm{d}{x}_n\\ & =\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{x}_1^2}\mathrm{d}{x}_1\right)\times \cdots \times \left({\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{x}_n^2}\mathrm{d}{x}_n\right)\\ & ={\left(\sqrt{\frac{\pi }{a}}\right)}^n\\ & ={\left(\frac{\pi }{a}\right)}^{\frac{n}{2}}\end{array}$$ $$\boxed{{\left(\frac{\pi }{a}\right)}^{\frac{n}{2}}}$$

(3)
$n$ 次元空間において、原点からの距離を $r=\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}$ とする。空間を厚さ $\mathrm{d}r$ の微小な $n$ 次元球殻に分割して積分を考える。
半径 $r$ の球の表面積は $S_n(r)=n{C}_n{r}^{n-1}$ であるから、球殻の体積要素は $\mathrm{d}{V}_n=S_n(r)\mathrm{d}r=n{C}_n{r}^{n-1}\mathrm{d}r$ となる。被積分関数は $e^{-a{r}^2}$ であり $r$ にのみ依存するため、$I_n$ は $r$ についての 1 次元積分に帰着できる。

$$\begin{array}{rl}{I}_n& ={\int }_0^{\infty }{e}^{-a{r}^2}{S}_n(r)\mathrm{d}r\\ & ={\int }_0^{\infty }{e}^{-a{r}^2}n{C}_n{r}^{n-1}\mathrm{d}r\end{array}$$

ここで、$t=a{r}^2$ と変数変換する。$r=\sqrt{\frac{t}{a}}$ であり、$\mathrm{d}t=2ar\mathrm{d}r$ より $r\mathrm{d}r=\frac{1}{2a}\mathrm{d}t$ である。積分範囲は $r:0\to \infty$ のとき $t:0\to \infty$ となる。

$$\begin{array}{rl}{I}_n& =n{C}_n{\int }_0^{\infty }{e}^{-t}{r}^{n-2}(r\mathrm{d}r)\\ & =n{C}_n{\int }_0^{\infty }{e}^{-t}{\left(\frac{t}{a}\right)}^{\frac{n-2}{2}}\frac{1}{2a}\mathrm{d}t\\ & =\frac{n{C}_n}{2a^{\frac{n}{2}}}{\int }_0^{\infty }{e}^{-t}{t}^{\frac{n}{2}-1}\mathrm{d}t\end{array}$$

$\Gamma$ 関数の定義 $\Gamma (m)={\int }_0^{\infty }{e}^{-x}{x}^{m-1}\mathrm{d}x$ より、$m=\frac{n}{2}$ として代入する。

$$I_n=\frac{n{C}_n}{2a^{\frac{n}{2}}}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)$$ $$\boxed{\frac{n{C}_n}{2a^{\frac{n}{2}}}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}$$

(4)
(2) と (3) で求めた $I_n$ の値は等しいため、以下の等式が成り立つ。

$${\left(\frac{\pi }{a}\right)}^{\frac{n}{2}}=\frac{n{C}_n}{2a^{\frac{n}{2}}}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)$$

両辺に $a^{\frac{n}{2}}$ を掛けると $a$ が消去される。

$${\pi }^{\frac{n}{2}}=\frac{n{C}_n}{2}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)$$

これを $C_n$ について解く。

$$C_n=\frac{2{\pi }^{\frac{n}{2}}}{n\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}$$

$\Gamma$ 関数の性質 $\Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)=\frac{n}{2}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)$ を用いて分母を書き換える。

$$C_n=\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)}$$

したがって、求める球の体積 $V_n(r)=C_n{r}^n$ は次のようになる。

$$V_n(r)=\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)}{r}^n$$ $$\boxed{\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)}{r}^n}$$

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这道题通过计算高斯积分巧妙地推导出了n维球体的体积公式是一道非常经典的多重积分应用题。第一问要求计算基本的一维高斯积分通常通过构造其平方形式并转换为极坐标系下的二重积分来求解从而得到包含圆周率的结果。第二问利用多重积分的性质将n维高斯积分拆解为n个一维高斯积分的独立乘积进而得到与维度相关的幂函数。第三问是这道题的精髓所在它引入了n维球坐标系的思想由于被积函数仅与到原点的距离有关因此可以将n维空间划分为无数个厚度极薄的同心球壳其体积微元即为表面积乘上径向增量从而将多重积分转换为一维积分再利用指数部分的变量代换将其自然地与伽马函数的积分定义式联系起来。第四问只需将前面两问用不同坐标系和方法计算出的同一个多维积分值等价起来提取出待定系数即可轻松解出并得到n维球体体积的最终表达式这种利用数学分析中积分的不同计算路径来反推高维几何不变量的方法在数学与物理学科中十分常见且优美。