0481-1993 东大工 数学 WEB

微分积分 向量分析 空间曲线

図のように半径 $a\text{cm}$ の円筒に、$z$ 方向 $1\text{cm}$ あたり細線をらせん状に $N$ 回巻き付けることで、$t$ をパラメータとする曲線 $(x,y,z)=\left(a\cos t,a\sin t,\frac{t}{2\pi N}\right)$ を作る。ただし、線の太さは無視できるものとする。このとき、次の問に答えよ。

(1) $z$ 方向に $1\text{cm}$ 巻き付けるのに必要な細線の長さを求めよ。

(2) 今、$z$ 方向に $100\text{cm}$ までらせん状に巻き付けたら、単に円状に巻き付けた場合よりもちょうど $1$ 周分 ($2\pi a$) 余分な長さが必要になった。このときの $N$ を求めよ。

(3) (2) で求めたらせんの曲率半径を求めよ。

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解答：

(1)
曲線 $\mathbf{r}(t)$ の位置ベクトルは以下の通りである。

$$\mathbf{r}(t)=\left(a\cos t,a\sin t,\frac{t}{2\pi N}\right)$$

$z$ 方向に $1\text{cm}$ 巻き付けるとき、$z=\frac{t}{2\pi N}=1$ より、パラメータ $t$ の範囲は $0\le t\le 2\pi N$ となる。
曲線の接ベクトルは

$$\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\left(-a\sin t,a\cos t,\frac{1}{2\pi N}\right)$$

必要な細線の長さ $L_1$ は弧長積分により求められる。

$$\begin{array}{rl}{L}_1& ={\int }_0^{2\pi N}\left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right|\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{2\pi N}\sqrt{(-a\sin t{)}^2+(a\cos t{)}^2+{\left(\frac{1}{2\pi N}\right)}^2}\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{2\pi N}\sqrt{a^2+\frac{1}{4{\pi }^2{N}^2}}\mathrm{d}t\\ & =2\pi N\sqrt{a^2+\frac{1}{4{\pi }^2{N}^2}}\\ & =\sqrt{4{\pi }^2{a}^2{N}^2+1}\end{array}$$ $$\boxed{L_1=\sqrt{4{\pi }^2{a}^2{N}^2+1}}$$

(2)
$z$ 方向に $100\text{cm}$ 巻き付けるための細線の長さ $L_{100}$ は

$$L_{100}=100L_1=100\sqrt{4{\pi }^2{a}^2{N}^2+1}$$

単に円状に巻き付ける場合、$1\text{cm}$ あたり $N$ 回巻くため、$100\text{cm}$ 分の合計の巻き数は $100N$ 回となる。その長さ $L_c$ は

$$L_c=100N\cdot (2\pi a)=200\pi aN$$

与えられた条件 $L_{100}-L_c=2\pi a$ より方程式を立てる。

$$100\sqrt{4{\pi }^2{a}^2{N}^2+1}-200\pi aN=2\pi a$$

両辺を $100$ で割り、移項する。

$$\sqrt{4{\pi }^2{a}^2{N}^2+1}=2\pi aN+\frac{\pi a}{50}$$

両辺を $2$ 乗して整理する。

$$\begin{array}{rl}4{\pi }^2{a}^2{N}^2+1& ={\left(2\pi aN+\frac{\pi a}{50}\right)}^2\\ 4{\pi }^2{a}^2{N}^2+1& =4{\pi }^2{a}^2{N}^2+\frac{4{\pi }^2{a}^{2}N}{50}+\frac{{\pi }^2{a}^2}{2500}\\ 1-\frac{{\pi }^2{a}^2}{2500}& =\frac{2{\pi }^2{a}^2}{25}N\end{array}$$

これより $N$ について解く。

$$\begin{array}{rl}N& =\frac{25}{2{\pi }^2{a}^2}\left(1-\frac{{\pi }^2{a}^2}{2500}\right)\\ & =\frac{2500-{\pi }^2{a}^2}{200{\pi }^2{a}^2}\end{array}$$ $$\boxed{N=\frac{2500-{\pi }^2{a}^2}{200{\pi }^2{a}^2}}$$

(3)
らせん曲線の曲率 $\kappa$ を求める。

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{r}}^{\prime }(t)& =\left(-a\sin t,a\cos t,\frac{1}{2\pi N}\right)\\ {\mathbf{r}}^{\prime \prime }(t)& =\left(-a\cos t,-a\sin t,0\right)\end{array}$$

外積 ${\mathbf{r}}^{\prime }(t)\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime }(t)$ は

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{r}}^{\prime }(t)\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime }(t)& =\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ -a\sin t& a\cos t& \frac{1}{2\pi N}\\ -a\cos t& -a\sin t& 0\end{array}\right|\\ & =\left(\frac{a\sin t}{2\pi N},-\frac{a\cos t}{2\pi N},a^2\right)\end{array}$$

そのノルムは

$$|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime }(t)|=\sqrt{\frac{a^2}{4{\pi }^2{N}^2}+a^4}=a\sqrt{a^2+\frac{1}{4{\pi }^2{N}^2}}$$

また

$$|{\mathbf{r}}^{\prime }(t){|}^3={\left(\sqrt{a^2+\frac{1}{4{\pi }^2{N}^2}}\right)}^3$$

曲率 $\kappa$ は

$$\kappa =\frac{|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)\times {\mathbf{r}}^{\prime \prime }(t)|}{|{\mathbf{r}}^{\prime }(t){|}^3}=\frac{a}{a^2+\frac{1}{4{\pi }^2{N}^2}}$$

曲率半径 $R$ は $R=\frac{1}{\kappa }$ である。

$$R=a+\frac{1}{4{\pi }^{2}a{N}^2}$$

(2) の結果より、$\frac{1}{2\pi N}=\frac{100\pi a^2}{2500-{\pi }^2{a}^2}$ を代入する。

$$\begin{array}{rl}R& =a+\frac{1}{a}{\left(\frac{100\pi a^2}{2500-{\pi }^2{a}^2}\right)}^2\\ & =a\left(1+\frac{10000{\pi }^2{a}^2}{(2500-{\pi }^2{a}^2{)}^2}\right)\\ & =a\frac{(2500-{\pi }^2{a}^2{)}^2+10000{\pi }^2{a}^2}{(2500-{\pi }^2{a}^2{)}^2}\\ & =a\frac{6250000-5000{\pi }^2{a}^2+{\pi }^4{a}^4+10000{\pi }^2{a}^2}{(2500-{\pi }^2{a}^2{)}^2}\\ & =a\frac{(2500+{\pi }^2{a}^2{)}^2}{(2500-{\pi }^2{a}^2{)}^2}\\ & =a{\left(\frac{2500+{\pi }^2{a}^2}{2500-{\pi }^2{a}^2}\right)}^2\end{array}$$ $$\boxed{R=a{\left(\frac{2500+{\pi }^2{a}^2}{2500-{\pi }^2{a}^2}\right)}^2}$$

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本题考察了空间曲线的弧长计算以及曲率半径的求解。在第一问中，关键在于根据给定的z轴方向长度推导出参数t的积分上下限。因为螺旋线在z方向上是均匀上升的，找到对应关系后直接利用空间曲线弧长积分公式即可。第二问实质是一个方程求解的应用题，解题的关键是准确理解日语“単純に円状に巻き付ける”（单纯绕圆状卷绕）的含义，即不考虑z轴方向上的伸展，只计算这100N圈在二维平面的总周长。列出差值等式后，通过移项并平方消去根号，即可得到关于N的表达式。第三问计算三维参数曲线的曲率半径，通常利用速度向量与加速度向量叉乘的模长除以速度向量模长的立方来得到曲率，其倒数即为曲率半径。在代入第二问所求出的具体N值化简时，可以发现分子部分巧妙地配凑成了完全平方公式，从而得到十分对称和整洁的最终答案，这种精妙的代数变形是微积分考试中极为经典的设计。