0478-1992 东大工 数学 WEB

微分积分 向量分析 曲面积分 多重积分

$z=f(x,y)$ で表される曲面Sにおいて、$F(x,y,z)\equiv z-f(x,y)$ とおくと、曲面S内の任意の点で方向余弦 $(l,m,n)$ は $(F_x,F_y,F_z)$ に比例する。このことを利用して以下の問いに答えよ。ただし、関数 $f(x,y)$ はなめらかな一価関数であり、$F_x$ などは偏導関数 $\frac{\partial }{\partial x}F(x,y,z)$ などを表す。

(1) $xy$ 平面における曲面Sの定義域（曲面Sの $xy$ 平面への正射影）をRとすると、曲面Sの面積は

$${\iint }_{\mathrm{R}}\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
で与えられることを示せ。

(2) 曲面 $2x^2+3y^2+z=1$ において、楕円柱 $4x^2+9y^2\le 1$ と交わる面積を求めよ。

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解答：
(1)
$F(x,y,z)=z-f(x,y)$ より、偏導関数は

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =-f_x\\ F_y& =-f_y\\ F_z& =1\end{array}$$
方向余弦 $(l,m,n)$ は単位法線ベクトルの成分であるため、
$$n=\frac{F_z}{\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}}=\frac{1}{\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}}$$
曲面上の微小面積 $\mathrm{d}S$ とその $xy$ 平面への正射影の微小面積 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ の関係は $\mathrm{d}x\mathrm{d}y=|n|\mathrm{d}S$ であるから、
$$\mathrm{d}S=\frac{1}{|n|}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
したがって、曲面Sの面積は
$${\iint }_{\mathrm{R}}\mathrm{d}S={\iint }_{\mathrm{R}}\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
(証明終)

(2)
曲面の方程式は $z=1-2x^2-3y^2$ であるから、$f(x,y)=1-2x^2-3y^2$ とおく。

$$\begin{array}{rl}{f}_x& =-4x\\ f_y& =-6y\end{array}$$
積分領域 $\mathrm{R}$ は $4x^2+9y^2\le 1$ である。(1)の公式より、求める面積 $S$ は
$$S={\iint }_{\mathrm{R}}\sqrt{1+(-4x{)}^2+(-6y{)}^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{\mathrm{R}}\sqrt{1+16x^2+36y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
ここで、$u=2x,v=3y$ と変数変換する。積分領域 $\mathrm{R}$ は $u^2+v^2\le 1$ （これを ${\mathrm{R}}^{\prime }$ とする）に移る。ヤコビアンは
$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\det \left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 0\\ 0& \frac{1}{3}\end{array}\right)=\frac{1}{6}$$
したがって、
$$S={\iint }_{{\mathrm{R}}^{\prime }}\sqrt{1+4u^2+4v^2}\left|\frac{1}{6}\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v=\frac{1}{6}{\iint }_{{\mathrm{R}}^{\prime }}\sqrt{1+4(u^2+v^2)}\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$
極座標 $u=r\cos \theta ,v=r\sin \theta$ に変換する。${\mathrm{R}}^{\prime }$ は $0\le r\le 1,0\le \theta \le 2\pi$ となり、$\mathrm{d}u\mathrm{d}v=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$ である。
$$\begin{array}{rl}S& =\frac{1}{6}{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^1\sqrt{1+4r^2}r\mathrm{d}r\\ & =\frac{1}{6}\cdot 2\pi \cdot {\left[\frac{1}{12}(1+4r^2{)}^{\frac{3}{2}}\right]}_0^1\\ & =\frac{\pi }{3}\left(\frac{1}{12}\cdot 5^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{12}\cdot 1^{\frac{3}{2}}\right)\\ & =\frac{\pi }{36}(5\sqrt{5}-1)\end{array}$$
$$\boxed{\frac{\pi }{36}(5\sqrt{5}-1)}$$

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这道题主要考查了多元函数微积分中的曲面积分以及二重积分的换元法。
第一问要求利用方向余弦推导显式曲面的面积公式。题目中给出的隐函数形式的梯度向量就是曲面的法向量，方向余弦实际上代表了法向量与坐标轴正方向夹角的余弦值。其中第三个分量代表与z轴夹角的余弦，它恰好刻画了空间微小面积元投影到xy平面上时的面积缩放比例。通过投影关系即可写出面积元素的表达式从而完成证明。
第二问是曲面积分公式的具体应用。在列出二重积分式子后，被积函数和积分区域都呈现出与椭圆相关的形式。为了简化计算，通过进行一次线性变量替换，将椭圆积分区域化为标准的单位圆面，并引入雅可比行列式作为面积元的补偿因子。随后，将转化后的积分变换到极坐标系下，被积函数正好可以凑出微分形式，直接利用复合函数的积分公式即可顺利求得最终的表面积数值。