0476-1992 东大工 数学 WEB

傅里叶与拉普拉斯变换 微积分 复变函数

フーリエ余弦変換とその逆変換は、それぞれ次のように定義される。

$$F_c[f(t)]=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\int }_0^{\infty }f(t)\cos (xt)\mathrm{d}t\text{フーリエ余弦変換}$$
$$f(t)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\int }_0^{\infty }{F}_c[f(t)]\cos (xt)\mathrm{d}x\text{フーリエ余弦逆変換}$$
ただし、関数 $f$ は実関数で連続かつ絶対積分可能である。以下の問いに答えよ。

(1) 関数 $e^{-at}\cos (at)$ と $e^{-at}\sin (at)$ のフーリエ余弦変換を求めよ。ただし $a$ は正の実定数とする。

(2) 関数 $\frac{1}{t^4+b^4}$ と $\frac{t^2}{t^4+b^4}$ のフーリエ余弦変換を求めよ。ただし $b$ は正の実定数とする。

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解答：
(1)
オイラーの公式と積分公式 ${\int }_0^{\infty }{e}^{-st}\cos (xt)\mathrm{d}t=\frac{s}{s^2+x^2}$ （$\mathrm{Re}(s)>0$）を用いる。
$s=a-ia$ とおくと、複素積分により次のように実部と虚部を同時に計算できる。

$${\int }_0^{\infty }{e}^{-at}{e}^{iat}\cos (xt)\mathrm{d}t={\int }_0^{\infty }{e}^{-(a-ia)t}\cos (xt)\mathrm{d}t=\frac{a-ia}{(a-ia{)}^2+x^2}$$
分母を展開して整理する。
$$\frac{a-ia}{a^2-2i{a}^2-a^2+x^2}=\frac{a-ia}{x^2-2i{a}^2}$$
分母と分子に $x^2+2i{a}^2$ を掛けて実数化する。
$$\frac{(a-ia)(x^2+2i{a}^2)}{(x^2-2i{a}^2)(x^2+2i{a}^2)}=\frac{a{x}^2+2i{a}^3-ia{x}^2+2a^3}{x^4+4a^4}=\frac{a(x^2+2a^2)+ia(2a^2-x^2)}{x^4+4a^4}$$
両辺の実部と虚部を比較すると、以下の積分を得る。
$${\int }_0^{\infty }{e}^{-at}\cos (at)\cos (xt)\mathrm{d}t=\frac{a(x^2+2a^2)}{x^4+4a^4}$$
$${\int }_0^{\infty }{e}^{-at}\sin (at)\cos (xt)\mathrm{d}t=\frac{a(2a^2-x^2)}{x^4+4a^4}$$
定義に従い $\sqrt{\frac{2}{\pi }}$ を掛けることで、結果を得る。
$$\boxed{\begin{array}{rl}{F}_c[e^{-at}\cos (at)]& =\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{a(x^2+2a^2)}{x^4+4a^4}\\ F_c[e^{-at}\sin (at)]& =\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{a(2a^2-x^2)}{x^4+4a^4}\end{array}}$$

(2)
フーリエ余弦逆変換の定義から $F_c[F_c[f(t)]](x)=f(x)$ が成り立つ。(1)で得た2式を足し合わせると、

$$F_c[e^{-at}(\cos (at)+\sin (at))]=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{4a^3}{x^4+4a^4}$$
両辺に再びフーリエ余弦変換を施すと、
$$F_c\left[\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{4a^3}{t^4+4a^4}\right]=e^{-ax}(\cos (ax)+\sin (ax))$$
式を整理し、$4a^4=b^4$ すなわち $a=\frac{b}{\sqrt{2}}$、$a^3=\frac{b^3}{2\sqrt{2}}$ を代入する。
$$\begin{array}{rl}{F}_c\left[\frac{1}{t^4+b^4}\right]& =\frac{\sqrt{\pi }}{4\sqrt{2}{a}^3}{e}^{-ax}(\cos (ax)+\sin (ax))\\ & =\frac{\sqrt{\pi }}{2b^3}{e}^{-\frac{b}{\sqrt{2}}x}\left(\cos \left(\frac{b}{\sqrt{2}}x\right)+\sin \left(\frac{b}{\sqrt{2}}x\right)\right)\end{array}$$

同様に、(1)の2式の差を取ると、

$$F_c[e^{-at}(\cos (at)-\sin (at))]=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{2a{x}^2}{x^4+4a^4}$$
両辺にフーリエ余弦変換を施すと、
$$F_c\left[\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{2a{t}^2}{t^4+4a^4}\right]=e^{-ax}(\cos (ax)-\sin (ax))$$
同様に $a=\frac{b}{\sqrt{2}}$ を代入する。
$$\begin{array}{rl}{F}_c\left[\frac{t^2}{t^4+b^4}\right]& =\frac{\sqrt{\pi }}{2\sqrt{2}a}{e}^{-ax}(\cos (ax)-\sin (ax))\\ & =\frac{\sqrt{\pi }}{2b}{e}^{-\frac{b}{\sqrt{2}}x}\left(\cos \left(\frac{b}{\sqrt{2}}x\right)-\sin \left(\frac{b}{\sqrt{2}}x\right)\right)\end{array}$$

したがって、求める変換は以下の通りである。

$$\boxed{\begin{array}{rl}{F}_c\left[\frac{1}{t^4+b^4}\right]& =\frac{\sqrt{\pi }}{2b^3}{e}^{-\frac{b}{\sqrt{2}}x}\left(\cos \left(\frac{b}{\sqrt{2}}x\right)+\sin \left(\frac{b}{\sqrt{2}}x\right)\right)\\ F_c\left[\frac{t^2}{t^4+b^4}\right]& =\frac{\sqrt{\pi }}{2b}{e}^{-\frac{b}{\sqrt{2}}x}\left(\cos \left(\frac{b}{\sqrt{2}}x\right)-\sin \left(\frac{b}{\sqrt{2}}x\right)\right)\end{array}}$$

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本题考查了傅里叶余弦变换的计算以及逆变换性质的应用。第一问中，要求计算带有指数衰减项的三角函数的积分。最简便的处理方法是利用欧拉公式将三角函数转化为复指数函数，从而能够利用标准的指数函数积分或拉普拉斯变换公式，一次性分离实部和虚部得到正余弦的两种变换结果。第二问是典型的利用傅里叶变换对偶性（对合性）求解复杂积分的技巧。如果直接对原分式函数进行傅里叶变换，需要使用留数定理在复平面上计算较为繁琐的围道积分。但观察第一问的结果可以发现，其得到的有理分式形式正是第二问要求的函数结构。由于傅里叶余弦变换连续应用两次会回到原函数，因此通过对第一问结果进行加减线性组合构造出所需的分式，再反向利用逆变换性质，只需进行简单的代数变量替换，即可巧妙而迅速地得出最终结果。