0475-1992 东大工 数学 WEB

线性代数 矩阵级数 极限

2次正方実行列 $A$ を

$$A=\alpha \left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$
とおく。ただし、$0<\alpha <1,0\le \theta <2\pi$ である。零ベクトルでない任意の2次元ベクトル ${\mathbf{r}}_1$ に対して
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{x}}_1& ={\mathbf{r}}_1\\ {\mathbf{x}}_{n+1}& =A{\mathbf{x}}_n(n\ge 1)\\ {\mathbf{r}}_{n+1}& ={\mathbf{r}}_n+{\mathbf{x}}_{n+1}\end{array}$$
と定義する。$\underset{n\to \infty }{\lim }{\mathbf{r}}_n=\alpha {\mathbf{r}}_1$ となる $\alpha$ と $\theta$ を求めよ。

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解答：
漸化式 ${\mathbf{x}}_{n+1}=A{\mathbf{x}}_n$ より、

$${\mathbf{x}}_n=A^{n-1}{\mathbf{r}}_1(n\ge 1)$$
これを用いて ${\mathbf{r}}_n$ を求めると、
$${\mathbf{r}}_n=\sum _{k=1}^n{\mathbf{x}}_k=\sum _{k=1}^n{A}^{k-1}{\mathbf{r}}_1$$
条件 $0<\alpha <1$ より、$A$ の固有値の絶対値は $1$ より小さいため、$\underset{n\to \infty }{\lim }{A}^n=O$ となる。ゆえに $(I-A)$ は正則であり、行列の等比数列の和の極限は
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n{A}^{k-1}=(I-A{)}^{-1}$$
となる（ただし $I$ は2次単位行列）。したがって、
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\mathbf{r}}_n=(I-A{)}^{-1}{\mathbf{r}}_1$$
これが任意の零でないベクトル ${\mathbf{r}}_1$ に対して $\alpha {\mathbf{r}}_1$ に等しくなるため、
$$(I-A{)}^{-1}=\alpha I$$
が成り立つ。これを $A$ について解くと、
$$I-A=\frac{1}{\alpha }I$$
$$A=\left(1-\frac{1}{\alpha }\right)I=\left(\begin{array}{cc}1-\frac{1}{\alpha }& 0\\ 0& 1-\frac{1}{\alpha }\end{array}\right)$$
一方、与えられた $A$ の定義より
$$A=\left(\begin{array}{cc}\alpha \cos \theta & -\alpha \sin \theta \\ \alpha \sin \theta & \alpha \cos \theta \end{array}\right)$$
両者を比較して、以下の連立方程式を得る。
$$\begin{array}{rl}\alpha \cos \theta & =1-\frac{1}{\alpha }\\ \alpha \sin \theta & =0\end{array}$$
$\alpha \ne 0$ より $\sin \theta =0$。条件 $0\le \theta <2\pi$ より、$\theta =0$ または $\theta =\pi$。
$\theta =0$ のとき $\cos \theta =1$ となり、$\alpha =1-\frac{1}{\alpha }$、すなわち ${\alpha }^2-\alpha +1=0$ を得るが、実数解を持たないため不適。
$\theta =\pi$ のとき $\cos \theta =-1$ となり、$-\alpha =1-\frac{1}{\alpha }$、すなわち ${\alpha }^2+\alpha -1=0$ を得る。
これを解くと $\alpha =\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ となる。
条件 $0<\alpha <1$ より、$\alpha =\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。

$$\boxed{\begin{array}{rl}\alpha & =\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\ \theta & =\pi \end{array}}$$

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这道题主要考查了矩阵的等比数列求和以及极限的概念。
题目通过递推关系定义了向量序列，实际上是在计算矩阵幂的累加和乘上初始向量。因为矩阵A本质上是一个包含缩放因子的旋转矩阵，且缩放因子介于0和1之间，这就保证了矩阵的n次幂随着n趋于无穷大时会收敛于零矩阵，从而对应的几何级数矩阵求和存在极限。
计算出无穷级数的和后，题目要求这个极限等于标量乘以初始向量，并且是对任意非零初始向量都成立。这种对任意向量都成立的条件，意味着变换矩阵本身必须是单位矩阵的纯量倍。通过建立这层等量关系，就可以把原本的矩阵方程化简成对应的矩阵元素恒等式。最后解三角方程和二次方程时，需要仔细对照题目最初给定的参数取值范围进行取舍，排除了没有实数解的零度角情况以及不在区间内的负根，从而得到唯一符合条件的答案。