0472-1991 东大工 数学 WEB

微分积分 空间解析几何 包络面

(1) 直交座標系 $O-xyz$ で表される 3 次元空間内の一点 $\text{P}(\alpha ,\beta ,\gamma )$ から各座標平面に下した垂線の足を通る平面の方程式を求めよ。ただし、$\alpha \beta \gamma \ne 0$ とする。

(2) 点 P が楕円面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ の上を動くとき、(1) で求めた平面の形成する包絡面の方程式を求めよ。
ここで包絡面とは一定の条件に従う一群の平面のすべてに接する曲面をいう。

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解答：

(1)
点 $\text{P}(\alpha ,\beta ,\gamma )$ から $xy$ 平面、$yz$ 平面、$zx$ 平面へ下した垂線の足はそれぞれ以下の通りである。

$$(\alpha ,\beta ,0),(0,\beta ,\gamma ),(\alpha ,0,\gamma )$$

求める平面の方程式を $Ax+By+Cz=D$ とおく。3点を通るため次が成り立つ。

$$\begin{array}{rl}A\alpha +B\beta & =D\\ B\beta +C\gamma & =D\\ A\alpha +C\gamma & =D\end{array}$$

辺々を加えて整理すると $A\alpha +B\beta +C\gamma =\frac{3}{2}D$ となる。
各式を引くことで次を得る。

$$A\alpha =B\beta =C\gamma =\frac{D}{2}$$

$\alpha \beta \gamma \ne 0$ より $A=\frac{D}{2\alpha },B=\frac{D}{2\beta },C=\frac{D}{2\gamma }$。
これらを平面の方程式に代入し、$D$ で割ると次式を得る。

$$\boxed{\frac{x}{\alpha }+\frac{y}{\beta }+\frac{z}{\gamma }=2}$$

(2)
(1)の平面を $F(x,y,z,\alpha ,\beta ,\gamma )=\frac{x}{\alpha }+\frac{y}{\beta }+\frac{z}{\gamma }-2=0$ とし、点 P の拘束条件を $G(\alpha ,\beta ,\gamma )=\frac{{\alpha }^2}{a^2}+\frac{{\beta }^2}{b^2}+\frac{{\gamma }^2}{c^2}-1=0$ とする。
包絡面の方程式を求めるため、ラグランジュの未定乗数 $\lambda$ を用いて極値条件を考える。

$$\frac{\partial F}{\partial \alpha }=\lambda \frac{\partial G}{\partial \alpha },\frac{\partial F}{\partial \beta }=\lambda \frac{\partial G}{\partial \beta },\frac{\partial F}{\partial \gamma }=\lambda \frac{\partial G}{\partial \gamma }$$

各偏微分を計算すると次の連立方程式を得る。

$$\begin{array}{rl}-\frac{x}{{\alpha }^2}& =\lambda \frac{2\alpha }{a^2}\\ -\frac{y}{{\beta }^2}& =\lambda \frac{2\beta }{b^2}\\ -\frac{z}{{\gamma }^2}& =\lambda \frac{2\gamma }{c^2}\end{array}$$

これらより、

$$x=-2\lambda \frac{{\alpha }^3}{a^2},y=-2\lambda \frac{{\beta }^3}{b^2},z=-2\lambda \frac{{\gamma }^3}{c^2}$$

これを $F=0$ に代入する。

$$\frac{1}{\alpha }\left(-2\lambda \frac{{\alpha }^3}{a^2}\right)+\frac{1}{\beta }\left(-2\lambda \frac{{\beta }^3}{b^2}\right)+\frac{1}{\gamma }\left(-2\lambda \frac{{\gamma }^3}{c^2}\right)=2$$ $$-2\lambda \left(\frac{{\alpha }^2}{a^2}+\frac{{\beta }^2}{b^2}+\frac{{\gamma }^2}{c^2}\right)=2$$

$G=0$ より括弧内は 1 であるため、$-2\lambda =2$ すなわち $\lambda =-1$ を得る。
したがって次が成り立つ。

$$\alpha ={\left(\frac{a^{2}x}{2}\right)}^{\frac{1}{3}},\beta ={\left(\frac{b^{2}y}{2}\right)}^{\frac{1}{3}},\gamma ={\left(\frac{c^{2}z}{2}\right)}^{\frac{1}{3}}$$

これらを拘束条件 $G=0$ に代入してパラメータ $\alpha ,\beta ,\gamma$ を消去する。

$$\frac{1}{a^2}{\left(\frac{a^{2}x}{2}\right)}^{\frac{2}{3}}+\frac{1}{b^2}{\left(\frac{b^{2}y}{2}\right)}^{\frac{2}{3}}+\frac{1}{c^2}{\left(\frac{c^{2}z}{2}\right)}^{\frac{2}{3}}=1$$

式を整理すると、求める包絡面の方程式が得られる。

$$\boxed{{\left(\frac{x}{a}\right)}^{\frac{2}{3}}+{\left(\frac{y}{b}\right)}^{\frac{2}{3}}+{\left(\frac{z}{c}\right)}^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}}}$$

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本题是一道结合了空间解析几何与多元函数微分学的经典问题。第一问考查对空间中点的投影坐标的理解以及求解平面方程的能力，通过待定系数法解一个简单的对称线性方程组，即可快速得到平面方程的截距形式。第二问则是求带约束条件的曲面族的包络面，这在本质上相当于对参数求极值条件以消去参数。由于存在几何约束，最直接有效的方法是利用拉格朗日乘数法，将平面方程对各个参数的偏导数与椭球面方程对参数的偏导数对应成比例。通过引入乘数，可以建立起空间坐标和曲面族参数之间的代数关系，最后将参数重新代回原先的椭球面约束条件中，即可彻底消去参数，得到仅含空间坐标的包络面方程。这种包络面在几何上是星形线在三维空间的推广。