0471-1991 东大工 数学 WEB

傅里叶与拉普拉斯变换 傅里叶变换 卷积定理 反常积分

関数 $f(x)$ に対する Fourier 変換と Fourier 逆変換をつぎのように定義する。

$$F(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx,f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega x}d\omega$$

つぎのように定義される関数 $g(x),h(x)$ に関して以下の問に答えよ。ただし、$0<a<b$ とする。

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}1& (|x|<a)\\ \frac{1}{2}& (|x|=a)\\ 0& (|x|>a)\end{array},h(x)=\{\begin{array}{ll}1& (|x|<b)\\ \frac{1}{2}& (|x|=b)\\ 0& (|x|>b)\end{array}$$

(1) $g(x)$ の Fourier 変換を求めよ。
(2) つぎの積分を計算して、$I(x)$ のグラフをえがけ。
(3) $I(x)$ の Fourier 変換を求めよ。
(4) 以上の結果を利用して、つぎの積分を求めよ。ただし、$0<a<b$ とする。

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin a\omega \sin b\omega }{{\omega }^2}d\omega$$

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解答：

(1)
$g(x)$ の Fourier 変換 $G(\omega )$ は

$$\begin{array}{rl}G(\omega )& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-i\omega x}dx\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-a}^a{e}^{-i\omega x}dx\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\left[\frac{e^{-i\omega x}}{-i\omega }\right]}_{-a}^a\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{e^{-ia\omega }-e^{ia\omega }}{-i\omega }\\ & =\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{\sin a\omega }{\omega }\end{array}$$ $$\boxed{G(\omega )=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{\sin a\omega }{\omega }}$$

(2)
題意より積分 $I(x)$ の定義式が省略されているが、(3)(4)への展開と文脈から、$g(x)$ と $h(x)$ の畳み込み積分であると判断して計算する。

$$I(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }g(t)h(x-t)dt$$

被積分関数 $g(t)h(x-t)$ は、区間 $(-a,a)$ と区間 $(x-b,x+b)$ の共通部分で $1$、それ以外で $0$ となる。$0<a<b$ を考慮して共通部分の長さを求めると、

$$\begin{array}{rl}I(x)& =\{\begin{array}{ll}0& (x<-a-b)\\ x+a+b& (-a-b\le x<a-b)\\ 2a& (a-b\le x<b-a)\\ -x+a+b& (b-a\le x<a+b)\\ 0& (x\ge a+b)\end{array}\end{array}$$

$I(x)$ のグラフは、点 $(-a-b,0),(a-b,2a),(b-a,2a),(a+b,0)$ を頂点とする等脚台形となる。

$$\boxed{\begin{array}{rl}& I(x)=\{\begin{array}{ll}0& (x<-a-b)\\ x+a+b& (-a-b\le x<a-b)\\ 2a& (a-b\le x<b-a)\\ -x+a+b& (b-a\le x<a+b)\\ 0& (x\ge a+b)\end{array}\\ & \text{グラフは点 }(-a-b,0),(a-b,2a),(b-a,2a),(a+b,0)\text{ を結ぶ台形}\end{array}}$$

(3)
畳み込み積分の Fourier 変換の性質より、

$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}[I](\omega )& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }\left({\int }_{-\infty }^{\infty }g(t)h(x-t)dt\right)e^{-i\omega x}dx\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }g(t)e^{-i\omega t}dt{\int }_{-\infty }^{\infty }h(u)e^{-i\omega u}du(u=x-t)\\ & =\sqrt{2\pi }G(\omega )H(\omega )\end{array}$$

ここで $H(\omega )$ は $h(x)$ の Fourier 変換であり、$G(\omega )$ の $a$ を $b$ に置き換えたものであるから、

$$H(\omega )=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{\sin b\omega }{\omega }$$

よって、

$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}[I](\omega )& =\sqrt{2\pi }\left(\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{\sin a\omega }{\omega }\right)\left(\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{\sin b\omega }{\omega }\right)\\ & =\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{\pi }}\frac{\sin a\omega \sin b\omega }{{\omega }^2}\end{array}$$ $$\boxed{\mathcal{F}[I](\omega )=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{\pi }}\frac{\sin a\omega \sin b\omega }{{\omega }^2}}$$

(4)
$I(x)$ に対する Fourier 逆変換を考える。

$$I(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }\mathcal{F}[I](\omega )e^{i\omega x}d\omega$$

(3) の結果を代入し、$x=0$ とすると、

$$\begin{array}{rl}I(0)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{\pi }}\frac{\sin a\omega \sin b\omega }{{\omega }^2}d\omega \\ & =\frac{2}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin a\omega \sin b\omega }{{\omega }^2}d\omega \end{array}$$

(2) より、$0<a<b$ において $I(0)=2a$ である。したがって、

$$2a=\frac{2}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin a\omega \sin b\omega }{{\omega }^2}d\omega$$

これを変形して、

$$\boxed{{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin a\omega \sin b\omega }{{\omega }^2}d\omega =\pi a}$$

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本题是一道经典的利用傅里叶变换求解反常积分的题目。核心考点包含矩形脉冲信号的傅里叶变换、函数卷积的计算、卷积定理以及傅里叶逆变换公式的运用。

在第(1)问中，根据定义的积分公式，矩形函数的傅里叶变换会给出一个包含 $\mathrm{sinc}$ 函数形式的经典结果。对于第(2)问，原卷截图中疑似漏印了 $I(x)$ 的积分表达式，但在傅里叶分析问题中，“计算积分并画图”后紧接着“求该积分的傅里叶变换”且最终用于求解含有两个 $\mathrm{sinc}$ 乘积的反常积分，这一标准设问范式决定了 $I(x)$ 必然是 $g(x)$ 与 $h(x)$ 的卷积。由于两个函数都是不同宽度的矩形窗函数，计算其卷积即为计算两个滑动的矩形窗口重叠部分的面积。因为 $a<b$ ，重叠面积随着相对位移 $x$ 的变化会呈现出无重叠、部分重叠、完全包含、部分重叠、无重叠五个阶段，因此得到的结果及其图像是一个等腰梯形。

第(3)问利用时域的卷积定理（或直接通过交换积分次序证明），将卷积的傅里叶变换转化为各自傅里叶变换乘积的 $\sqrt{2\pi }$ 倍。第(4)问是求解反常积分的关键步骤，将傅里叶逆变换的定义式代入求得的 $\mathcal{F}[I](\omega )$，并令时域变量 $x=0$，即可构造出所求积分与 $I(0)$ 的等式，结合第(2)问中求得的 $I(0)$ 的几何意义或表达式，便能轻松解出该反常积分的值。这种通过积分变换将频域反常积分转化为时域特定点函数值的方法是信号与系统分析中非常重要的计算技巧。除此以外，该反常积分也可以利用时域与频域的帕塞瓦尔定理（能量积分公式）进行求解，两种方法本质同源。