次の 2 階の線形微分方程式を、係数 が連続であるような の区間 で考える。
これについて以下の問に答えよ。
(1) 方程式 (h) の二つの解 に対して
を定義する。 を によらない定数、 を の中にある点として
となることを示せ。
(2) の区間 として を考える。
に対して、
(I) が方程式 (h) の解であることを使い、それと線形独立な解 を求めよ。
(II) を満たす方程式 (h) の解を求めよ。
ただし、 は を正の側から に近づけた極限を意味する。
解答：
(1)
は方程式 (h) の解であるから、次式が成り立つ。
を で微分し、上式を代入する。
変数分離法により積分する。
は によらない定数である。これを とおけば題意の式が得られる。(証明終)
(2)(I)
(1) の結果において、、積分下端を任意として定数 に含めると、
一方で、 であるから、 を代入して
両辺を で積分する。
と線形独立な解を一つ求めればよいため、 と選び、
(2)(II)
方程式の一般解は、任意常数 を用いて次のように表される。
における挙動を調べるため、 をマクローリン展開する。
これを に代入する。
これより二階導関数 を求める。
条件より が有限値として存在するためには、 の項が消去されなければならない。
よって、 すなわち である。
このとき極限をとると、
これより を得て、さらに と定まる。
これらを一般解に代入して、
本题主要考查二阶线性微分方程的求解技巧，涉及阿贝尔恒等式的推导、利用已知特解求另一线性无关解的降阶思想以及利用函数展开处理奇异点极限的方法。
第一问是常微分方程中经典的阿贝尔恒等式（或称刘维尔公式）的证明。证明的核心是写出朗斯基行列式的导数，并将原微分方程代入其中以消去二阶导数项，从而得到关于朗斯基行列式的齐次一阶常微分方程，利用变量分离积分后即得结论。
第二问第一小问中，在已知一个特解的情况下，可以直接利用第一问得到的朗斯基行列式表达式。由于朗斯基行列式可以恒等变形为特解平方与两解之商的导数的乘积，因此只需经过简单的积分即可求出第二解。相比于直接设 作降阶代换，这种利用行列式结构的方法计算量更小且不易出错。
第二小问给出了原点侧的二阶导数极限条件。写出包含两个任意常数的通解后，由于通解中包含 反比例项，在趋近于零时导数极易发散。通过引入指数函数的泰勒展开（麦克劳林级数），可以将通解转化为级数的形式。为了使二阶导数的极限存在且有限，级数中所有导致发散的负数次幂项系数必须严格为零，由此可确定两个常数之间的相反数关系。随后，保留级数求导后的常数项并与极限值比对，便能直接解出所有待定常数，得出满足条件的唯一特解。