0469-1991 东大工 数学 WEB

概率统计 连续型随机变量 函数的分布 几何概率

直交座標系 $O-xyz$ で表される 3 次元空間において、原点 O を始点とし点 $\text{P}(x,y,z)$ を終点とするベクトル $\overrightarrow{\text{OP}}$ の $xy$ 平面への正射影の長さを $R$ とする。点 P が単位球面上に一様にランダムに選ばれるとして次の問に答えよ。

(1) $R$ の確率密度関数を求めよ。
(2) $R$ の期待値を求めよ。

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解答：

(1)
点 P が単位球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 上に一様に分布するとき、その $z$ 座標は区間 $[-1,1]$ 上の連続一様分布に従う。
すなわち、$z$ の確率密度関数 $f_Z(z)$ は

$$f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}& (-1\le z\le 1)\\ 0& (\text{その他})\end{array}$$

である。
ベクトル $\overrightarrow{\text{OP}}$ の $xy$ 平面への正射影の長さ $R$ は、$R=\sqrt{x^2+y^2}$ と表される。
点 P は単位球面上にあるため $x^2+y^2+z^2=1$ が成り立ち、$R=\sqrt{1-z^2}$ となる。
$0\le r<1$ について、$R$ の累積分布関数 $F_R(r)=P(R\le r)$ を求める。

$$\begin{array}{rl}{F}_R(r)& =P\left(\sqrt{1-z^2}\le r\right)\\ & =P(1-z^2\le r^2)\\ & =P(z^2\ge 1-r^2)\\ & =P\left(z\ge \sqrt{1-r^2}\text{ または }z\le -\sqrt{1-r^2}\right)\\ & ={\int }_{\sqrt{1-r^2}}^1\frac{1}{2}dz+{\int }_{-1}^{-\sqrt{1-r^2}}\frac{1}{2}dz\\ & =\frac{1}{2}\left(1-\sqrt{1-r^2}\right)+\frac{1}{2}\left(-\sqrt{1-r^2}-(-1)\right)\\ & =1-\sqrt{1-r^2}\end{array}$$

確率密度関数 $f_R(r)$ は累積分布関数 $F_R(r)$ を $r$ で微分して得られるため、

$$f_R(r)=\frac{d}{dr}\left(1-\sqrt{1-r^2}\right)=\frac{r}{\sqrt{1-r^2}}$$

よって、

$$\boxed{f_R(r)=\{\begin{array}{ll}\frac{r}{\sqrt{1-r^2}}& (0\le r<1)\\ 0& (\text{その他})\end{array}}$$

(2)
(1)の結果より、$R$ の期待値 $E[R]$ は

$$E[R]={\int }_0^{1}r{f}_R(r)dr={\int }_0^1\frac{r^2}{\sqrt{1-r^2}}dr$$

ここで、$r=\sin t\left(0\le t\le \frac{\pi }{2}\right)$ と置換する。$dr=\cos tdt$ であり、

$$\begin{array}{rl}E[R]& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\sin }^{2}t}{\sqrt{1-{\sin }^{2}t}}\cos tdt\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}tdt\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1-\cos (2t)}{2}dt\\ & ={\left[\frac{t}{2}-\frac{\sin (2t)}{4}\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}\\ & =\frac{\pi }{4}\end{array}$$

よって、

$$\boxed{E[R]=\frac{\pi }{4}}$$

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本题考查了三维空间中几何概率与随机变量函数分布的求解。一个非常重要的前置知识点是阿基米德球面投影定理，即当一个点在三维单位球面上服从均匀分布时，它在任意一条经过球心的直线上的正投影会服从均匀分布。利用这一性质可以得知点P的z坐标在区间[-1, 1]上服从连续一样分布，从而极大地简化了概率模型的建立过程。在求射影长度R的概率密度时，先通过非负随机变量的等价关系求出其累积分布函数，然后再对变量求导得到概率密度函数。这种先求分布函数再求密度函数的方法是处理连续型随机变量函数分布的标准途径，能够有效避免直接换元时由于非单调性产生的雅可比行列式计算错误。最后的期望计算属于含有根号的有理式积分，利用三角换元将其转化为关于正弦函数平方的积分即可顺利求得结果。