0468-1991 东大工 数学 WEB

线性代数 矩阵的特征值与特征向量 差分方程

次式により定まる数列 $x_n(n=0,1,2,\cdots )$ について次の問に答えよ。

$$x_{n+3}-2x_{n+2}-x_{n+1}+2x_n=0$$

ただし、$x_0=3,x_1=2,x_2=6$ とする。

(1) ベクトル $\mathbf{X}=\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ x_{n+1}\\ x_{n+2}\end{array}\right)$ について、${\mathbf{X}}_{n+1}=A{\mathbf{X}}_n$ を満たす行列 $A$ を求めよ。

(2) 初期ベクトル ${\mathbf{X}}_0=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ を $A$ の固有ベクトルの線形和の形で表せ。

(3) (2) の結果を用いて $x_{10}$ を求めよ。

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解答：

(1)
与式より

$$\begin{array}{rl}{x}_{n+1}& =x_{n+1}\\ x_{n+2}& =x_{n+2}\\ x_{n+3}& =-2x_n+x_{n+1}+2x_{n+2}\end{array}$$

よって

$$\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ x_{n+2}\\ x_{n+3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -2& 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ x_{n+1}\\ x_{n+2}\end{array}\right)$$

ゆえに

$$\boxed{A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -2& 1& 2\end{array}\right)}$$

(2)
$A$ の固有方程式は

$$|\lambda I-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda & -1& 0\\ 0& \lambda & -1\\ 2& -1& \lambda -2\end{array}\right|={\lambda }^3-2{\lambda }^2-\lambda +2=0$$ $$(\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda +1)=0$$

固有値は $\lambda =1,2,-1$

各固有値に対する固有ベクトル $\mathbf{v}$ を求める。
${\lambda }_1=1$ のとき、$A{\mathbf{v}}_1={\mathbf{v}}_1$ より

$${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$$

${\lambda }_2=2$ のとき、$A{\mathbf{v}}_2=2{\mathbf{v}}_2$ より

$${\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right)$$

${\lambda }_3=-1$ のとき、$A{\mathbf{v}}_3=-{\mathbf{v}}_3$ より

$${\mathbf{v}}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$$

${\mathbf{X}}_0=c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+c_3{\mathbf{v}}_3$ とおくと

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& -1\\ 1& 4& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$$

これを解くと、$c_1=1,c_2=1,c_3=1$
したがって

$$\boxed{{\mathbf{X}}_0=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)}$$

(3)
${\mathbf{X}}_n=A^n{\mathbf{X}}_0$ および $A^n\mathbf{v}={\lambda }^n\mathbf{v}$ であるから

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{X}}_{10}& =A^{10}({\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_2+{\mathbf{v}}_3)\\ & =1^{10}{\mathbf{v}}_1+2^{10}{\mathbf{v}}_2+(-1{)}^{10}{\mathbf{v}}_3\\ & =\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+1024\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$

$x_{10}$ は ${\mathbf{X}}_{10}$ の第1成分であるから

$$\begin{array}{rl}{x}_{10}& =1+1024+1\\ & =1026\end{array}$$ $$\boxed{x_{10}=1026}$$

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本题主要考查如何利用线性代数中矩阵的特征值与特征向量来求解高阶常系数线性递推数列问题。首先通过将高阶递推关系转化为一阶向量递推方程组得到对应的伴随矩阵，接着求解该矩阵的特征多项式从而获得特征值和对应的特征向量。因为伴随矩阵的特殊性质，其特征向量通常具有递增次幂的形式。将给定的初始条件向量表示为这些特征向量的线性组合后，利用特征向量在矩阵乘法下的缩放性质也就是每次乘积等同于乘以特征值，可以非常方便地计算出矩阵的高次幂对初始向量的作用结果。这种方法避免了直接繁琐地计算矩阵的高次幂，是处理线性动力系统和差分方程的常规且高效的手段，最后提取结果向量的对应分量即可得到数列特定项的具体数值。