0467-1990 东大工 数学 WEB

微分积分 多重积分

3次元直交座標系 $O-xyz$ において、$xz$ 平面内の曲線 $z=\cos x^2$ を $z$ 軸回りに回転して得られる曲面と平面 $z=0$ で囲まれた立体を A とする。外径 $2a$、肉厚 $t$ の管 $(a-t{)}^2\le x^2+y^2\le a^2\left(0<t<a<\sqrt{\frac{\pi }{2}}\right)$ と A との共通部分を B とする。このとき、次の問に答えよ。

(1) B の体積を求めよ。

(2) $z$ 軸から距離 $r$ の点の密度が $\rho (r)=\frac{2-r}{\cos r^2}$ で表されるとき、与えられた $t$ のもとで、B の質量が最大になる $a$ を求めよ。

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解答：

(1)
円柱座標系 $(r,\theta ,z)$ を用いる。ここで $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ であり、$x^2+y^2=r^2$ となる。
立体 A の上面は $z=\cos (x^2+y^2)=\cos r^2$ であり、底面は $z=0$ である。
管と A の共通部分である立体 B の領域は、以下のように表される。

$$a-t\le r\le a,0\le \theta \le 2\pi ,0\le z\le \cos r^2$$
したがって、立体 B の体積 $V$ は次の三重積分で計算できる。

$$\begin{array}{rl}V& ={\iiint }_{\text{B}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\\ & ={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{a-t}^{a}r\mathrm{d}r{\int }_0^{\cos r^2}\mathrm{d}z\\ & =2\pi {\int }_{a-t}^{a}r\cos r^2\mathrm{d}r\end{array}$$

$u=r^2$ と置換すると、$\mathrm{d}u=2r\mathrm{d}r$ となるため、

$$\begin{array}{rl}V& =\pi {\int }_{(a-t{)}^2}^{a^2}\cos u\mathrm{d}u\\ & =\pi {\left[\sin u\right]}_{(a-t{)}^2}^{a^2}\\ & =\pi \left(\sin a^2-\sin (a-t{)}^2\right)\end{array}$$ $$\boxed{V=\pi \left(\sin a^2-\sin (a-t{)}^2\right)}$$

(2)
立体 B の質量 $M$ は、密度 $\rho (r)$ を体積で積分することで得られる。

$$\begin{array}{rl}M& ={\iiint }_{\text{B}}\rho (r)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\\ & ={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{a-t}^{a}r\frac{2-r}{\cos r^2}\mathrm{d}r{\int }_0^{\cos r^2}\mathrm{d}z\\ & =2\pi {\int }_{a-t}^{a}r\frac{2-r}{\cos r^2}\cos r^2\mathrm{d}r\\ & =2\pi {\int }_{a-t}^a(2r-r^2)\mathrm{d}r\end{array}$$

与えられた $t$ に対して $M$ を最大化する $a$ を求めるため、$M$ を $a$ で微分する。微分積分学の基本定理より、

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}a}& =2\pi \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}{\int }_{a-t}^a(2r-r^2)\mathrm{d}r\\ & =2\pi \left\{(2a-a^2)-\left(2(a-t)-(a-t{)}^2\right)\right\}\\ & =2\pi \left\{2a-a^2-(2a-2t-a^2+2at-t^2)\right\}\\ & =2\pi \left(2t-2at+t^2\right)\\ & =2\pi t(2-2a+t)\end{array}$$

$\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}a}=0$ とすると、$t>0$ であるから、

$$2-2a+t=0⟹a=1+\frac{t}{2}$$

ここで、二階導関数を確認すると、

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}M}{\mathrm{d}{a}^2}=-4\pi t<0$$

したがって、$M$ は $a=1+\frac{t}{2}$ のときに最大値をとる。

$$\boxed{a=1+\frac{t}{2}}$$

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本题主要考查了多重积分在柱坐标系下的计算以及利用微积分基本定理求变限积分的极值问题。第一问中，通过将直角坐标系下的立体方程转换为柱坐标系，确定了积分区域的上下限。将被积函数转换为极坐标形式后，利用简单的变量代换即可计算出定积分求得体积。第二问要求找出使质量最大化的外径参数。按照质量的定义列出密度函数在体积上的三重积分后，被积函数中的三角函数项恰好与积分上限曲面的方程抵消，化简为了一个仅包含多项式的定积分。此处不需要将定积分完全算出来再求导，直接运用变限积分的求导法则对参数变量求导并令导数为零，即可快速求出驻点。最后通过二阶导数小于零即可确认该驻点就是所求的极大值点。