ある年、急にジョギングが流行しだした。そこで、ジョギング人口の推移を毎年1回調べることにしたところ、1年たつと、いつも前の年にジョギングをやっていた人の4割が脱落し、やっていなかった人のうち2割が思い立ってジョギングを始めることがわかった。
年後のジョギング、非ジョギング人口をそれぞれ とし、全人口は不変であると仮定して以下の問に答えよ。
(1) 1年後のジョギング、非ジョギング人口 を表す式を
と書くとき、行列 を具体的に示せ。
(2) 行列 の固有値行列 と、固有ベクトル行列 を求めよ。ただし、 を一義的に定めることはできないので、 をパラメータとして表示すること。
(3) 年後のジョギング人口分布
を計算する式を具体的な形で表し、何年か経過するとジョギング人口は定着することを示せ。
(4) 定着したジョギング、非ジョギング人口の割合を、 を十分大きくとった場合のジョギング人口比で近似できるものとして求めよ。
解答：
(1)
題意より、1年後のジョギング人口 は、前年のジョギング人口の6割（4割が脱落）と、前年の非ジョギング人口の2割の和である。
1年後の非ジョギング人口 は、前年のジョギング人口の4割と、前年の非ジョギング人口の8割（2割がジョギングを開始）の和である。
したがって、以下の関係式が成り立つ。
行列形式で表すと、
よって、
(2)
行列 の固有方程式は、
これを解くと、 より、固有値は 。
したがって、固有値行列 は
固有ベクトルを求める。
のとき：
のとき：
よって、固有ベクトル行列 は
（※固有値の並びを とした場合は、 と の列が入れ替わるが、本解答では上記を正答とする。）
(3)
行列 は と対角化される。
年後の人口分布は より、
ここで、 のとき となる。全人口 は不変であるため、
初期状態 に依存する項 が の増加とともに減衰し に収束するため、何年か経過するとジョギング人口は初期値に関わらず全人口の という一定値に定着する。(証明終)
(4)
(3) の極限の式より、十分に時間が経過した後のジョギング人口と非ジョギング人口はそれぞれ全人口の 、 に収束する。
したがって、定着したジョギング人口、非ジョギング人口の割合（比）は以下のようになる。
补充说明：
本题考查了线性代数中矩阵特征值与特征向量的求法，以及其在马尔可夫链（状态转移矩阵）中的应用。
第一问要求建立状态转移矩阵，利用题意中的比例关系即可列出。需要注意的是矩阵的列和应为1（因为总人口不变）。
第二问常规求解特征值和特征向量。此类转移矩阵必定包含一个特征值为1，对应的特征向量即为系统的稳态分布。由于题目明确要求使用 作为参数，因此特征向量不应化简为具体的数值向量，而应带有参数。
第三问利用矩阵对角化 计算矩阵的 次幂。展开后可以清晰地看到通项公式分为两部分：与特征值 1 对应的“稳态项”和与特征值 0.4 对应的“瞬态项”。随着 增大，瞬态项呈指数衰减趋于零，从而证明系统状态最终定型。
第四问直接取第三问中 的极限，得出各状态人口所占的比例。这也是马尔可夫过程收敛到平稳分布的典型特征。