0465-1990 东大工 数学 WEB

复变函数 柯西-黎曼方程

(1) 複素平面のある領域 $\mathrm{D}$ で正則な関数 $f(z)$ がある。いま、$z=r{e}^{i\theta }$、$f(z)=u(r,\theta )+iv(r,\theta )$、と表したとき、その領域 $\mathrm{D}$ で次の関係が成立することを示せ。

$$\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta },\frac{\partial v}{\partial r}=-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta }$$
ただし、$i=\sqrt{-1}$、$r$ と $\theta$ は実変数で $r\ge 0$、$u(r,\theta )$ と $v(r,\theta )$ はそれぞれ実数値をとる関数とする。

(2) もし $f(z)$ が複素平面のすべての点で正則で、その実部が

$$u(r,\theta )=r^2\cos 2\theta -(a+b)r\cos \theta +ab$$
であるならば、$f(z)$ はどんな関数か。ここに $a$ と $b$ は実定数とする。

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解答：

(1)
関数 $f(z)$ が領域 $\mathrm{D}$ で正則であるから、微係数 $f^{\prime }(z)$ が存在し、微分する方向によらない。
$z=r{e}^{i\theta }$ より、連鎖律を用いて $f(z)$ の $r$ および $\theta$ に関する偏微分を計算すると、

$$\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}z}\frac{\partial z}{\partial r}=f^{\prime }(z)e^{i\theta }$$
$$\frac{\partial f}{\partial \theta }=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}z}\frac{\partial z}{\partial \theta }=f^{\prime }(z)(ir{e}^{i\theta })$$
上の二式より $f^{\prime }(z)e^{i\theta }$ を消去すると、次の関係が得られる。
$$\frac{\partial f}{\partial \theta }=ir\frac{\partial f}{\partial r}$$
ここで、$f(z)=u(r,\theta )+iv(r,\theta )$ を代入する。
$$\frac{\partial u}{\partial \theta }+i\frac{\partial v}{\partial \theta }=ir\left(\frac{\partial u}{\partial r}+i\frac{\partial v}{\partial r}\right)=-r\frac{\partial v}{\partial r}+ir\frac{\partial u}{\partial r}$$
$u,v,r,\theta$ は実数であるから、両辺の実部と虚部をそれぞれ等置する。
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial u}{\partial \theta }& =-r\frac{\partial v}{\partial r}\\ \frac{\partial v}{\partial \theta }& =r\frac{\partial u}{\partial r}\end{array}$$
$r\ne 0$ として両辺を $r$ で割り、整理すると求める関係式が得られる。
$$\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta },\frac{\partial v}{\partial r}=-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta }$$
(証明終)

(2)
与えられた実部 $u(r,\theta )=r^2\cos 2\theta -(a+b)r\cos \theta +ab$ を $r$ および $\theta$ で偏微分する。

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial u}{\partial r}& =2r\cos 2\theta -(a+b)\cos \theta \\ \frac{\partial u}{\partial \theta }& =-2r^2\sin 2\theta +(a+b)r\sin \theta \end{array}$$
(1) で示したコーシー・リーマンの関係式 $\frac{\partial v}{\partial \theta }=r\frac{\partial u}{\partial r}$ より、
$$\frac{\partial v}{\partial \theta }=2r^2\cos 2\theta -(a+b)r\cos \theta$$
これを $\theta$ について積分すると、
$$v(r,\theta )=r^2\sin 2\theta -(a+b)r\sin \theta +C(r)$$
ここで $C(r)$ は $r$ のみの関数である。この $v(r,\theta )$ を $r$ で偏微分する。
$$\frac{\partial v}{\partial r}=2r\sin 2\theta -(a+b)\sin \theta +C^{\prime }(r)$$
一方、もう一つのコーシー・リーマンの関係式 $\frac{\partial v}{\partial r}=-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta }$ より、
$$\frac{\partial v}{\partial r}=-\frac{1}{r}\left(-2r^2\sin 2\theta +(a+b)r\sin \theta \right)=2r\sin 2\theta -(a+b)\sin \theta$$
二つの $\frac{\partial v}{\partial r}$ の式を比較すると、$C^{\prime }(r)=0$ となる。
したがって、$C(r)$ は実定数 $C$ である。
$$v(r,\theta )=r^2\sin 2\theta -(a+b)r\sin \theta +C$$
これより、正則関数 $f(z)$ は次のように表される。
$$\begin{array}{rl}f(z)& =u(r,\theta )+iv(r,\theta )\\ & =\left(r^2\cos 2\theta -(a+b)r\cos \theta +ab\right)+i\left(r^2\sin 2\theta -(a+b)r\sin \theta +C\right)\\ & =r^2(\cos 2\theta +i\sin 2\theta )-(a+b)r(\cos \theta +i\sin \theta )+ab+iC\end{array}$$
オイラーの公式より $r{e}^{i\theta }=z$、$r^2{e}^{i2\theta }=z^2$ であるため、
$$f(z)=z^2-(a+b)z+ab+iC$$
$$\boxed{f(z)=z^2-(a+b)z+ab+iC(C\text{ は実定数})}$$

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这道题考察了复变函数中解析函数的性质以及极坐标下的柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）方程。第一问要求推导极坐标形式的柯西-黎曼方程，利用复变函数导数与逼近方向无关的性质，通过对复变量的指数形式应用链式法则求偏导，分离实部和虚部即可完成证明。第二问是已知解析函数的实部求解原函数，这是经典的复势场构造问题。根据第一问得出的极坐标形式的柯西-黎曼方程，可以由实部偏导数积分求出虚部的表达式，过程中会产生一个仅与极径有关的积分常数函数。再利用另一个柯西-黎曼方程进行比对，可以确定该常数函数实际上是一个实常数。最后将实部和虚部组合，并利用欧拉公式将极坐标变量还原为复变量，即可得出原解析函数的多项式形式。