0463-1990 东大工 数学 WEB

微分积分 偏微分方程

区間 $0\le x\le L(L>0)$ で定義された実関数 $v=v(x)$ で境界条件 $v(0)=0$ を満たすものの集まりを $V$ と置く。$v\in V$ に対し

$$J[v]={\int }_0^L\left\{\frac{1}{2}{\left(\frac{\mathrm{d}v(x)}{\mathrm{d}x}\right)}^2+\frac{1}{4}v(x{)}^4\right\}\mathrm{d}x$$
とするとき、以下の問に答えよ。

(1) $v,w\in V$ と $0\le \alpha \le 1$ が与えられたとき不等式

$$J[\alpha v+(1-\alpha )w]\le \alpha J[v]+(1-\alpha )J[w]$$
が成立することを示せ。ただし2次、4次関数 $y=\frac{1}{2}{x}^2,\frac{1}{4}{x}^4$ の凸性は $y^{\prime \prime }\ge 0$ より既知とする。

(2) 特定の $v(v\in V)$、$f=f(x)$、およびすべての $w(w\in V)$ につき

$$J[w]\ge J[v]+{\int }_0^L(w(x)-v(x))f(x)\mathrm{d}x$$
となったとする。このとき
$$-\frac{{\mathrm{d}}^{2}v}{\mathrm{d}{x}^2}+v^3=f,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}(L)=0$$
を示せ。

(3) $u=u(x,t)$ を偏微分方程式

$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial x^2}-u(x,t{)}^3\\ u(0,t)=\frac{\partial u}{\partial x}(L,t)=0\end{array}\left(\begin{array}{c}0\le x\le L\\ t>0\end{array}\right)$$

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解答：

(1)
関数 $y=\frac{1}{2}{x}^2$ と $y=\frac{1}{4}{x}^4$ は $y^{\prime \prime }\ge 0$ より凸関数である。
凸関数の定義より、任意の $y_1,y_2\in \mathbb{R}$ と $0\le \alpha \le 1$ に対して、

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}(\alpha y_1+(1-\alpha )y_2{)}^2& \le \alpha \frac{1}{2}{y}_1^2+(1-\alpha )\frac{1}{2}{y}_2^2\\ \frac{1}{4}(\alpha y_1+(1-\alpha )y_2{)}^4& \le \alpha \frac{1}{4}{y}_1^4+(1-\alpha )\frac{1}{4}{y}_2^4\end{array}$$

第一式に $y_1=v^{\prime }(x),y_2=w^{\prime }(x)$ を、第二式に $y_1=v(x),y_2=w(x)$ を代入し、辺々を加えると、

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{2}(\alpha v^{\prime }(x)+(1-\alpha )w^{\prime }(x){)}^2+\frac{1}{4}(\alpha v(x)+(1-\alpha )w(x){)}^4\\ & \le \alpha \left\{\frac{1}{2}{v}^{\prime }(x{)}^2+\frac{1}{4}v(x{)}^4\right\}+(1-\alpha )\left\{\frac{1}{2}{w}^{\prime }(x{)}^2+\frac{1}{4}w(x{)}^4\right\}\end{array}$$

両辺を $x$ について区間 $[0,L]$ で積分すると、

$$J[\alpha v+(1-\alpha )w]\le \alpha J[v]+(1-\alpha )J[w]$$
(証明終)

(2)
任意の $\eta \in V$ （すなわち $\eta (0)=0$）と任意の実数 $\epsilon$ に対して、$w=v+\epsilon \eta$ と置く。$w\in V$ であるから与えられた不等式が成り立ち、

$$J[v+\epsilon \eta ]-J[v]-\epsilon {\int }_0^L\eta (x)f(x)\mathrm{d}x\ge 0$$
関数 $I(\epsilon )=J[v+\epsilon \eta ]-\epsilon {\int }_0^L\eta (x)f(x)\mathrm{d}x$ は $\epsilon =0$ で最小値をとるため、$I^{\prime }(0)=0$ となる。

$$\begin{array}{rl}{I}^{\prime }(0)& =\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{J[v+\epsilon \eta ]-J[v]}{\epsilon }-{\int }_0^L\eta (x)f(x)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^L\left\{v^{\prime }(x){\eta }^{\prime }(x)+v(x{)}^3\eta (x)-\eta (x)f(x)\right\}\mathrm{d}x=0\end{array}$$

第一項を部分積分すると、$\eta (0)=0$ であるため、

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^L{v}^{\prime }(x){\eta }^{\prime }(x)\mathrm{d}x& ={\left[v^{\prime }(x)\eta (x)\right]}_0^L-{\int }_0^L{v}^{\prime \prime }(x)\eta (x)\mathrm{d}x\\ & =v^{\prime }(L)\eta (L)-{\int }_0^L{v}^{\prime \prime }(x)\eta (x)\mathrm{d}x\end{array}$$

これを代入して整理すると、

$$v^{\prime }(L)\eta (L)+{\int }_0^L\left(-v^{\prime \prime }(x)+v(x{)}^3-f(x)\right)\eta (x)\mathrm{d}x=0$$
これが任意の $\eta \in V$ について成り立つ。
まず、$\eta (L)=0$ を満たす任意の $\eta \in V$ を考えると、変分学の基本補題より区間 $(0,L)$ において、
$$-\frac{{\mathrm{d}}^{2}v}{\mathrm{d}{x}^2}+v^3=f$$
これが成り立つとき積分項はゼロになるため、残りの項は、
$$v^{\prime }(L)\eta (L)=0$$
$\eta (L)\ne 0$ なる $\eta \in V$ を選ぶことができるため、
$$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}(L)=0$$
(証明終)

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这道题考察了变分法的基础知识和泛函分析中的凸性证明。第一问直接利用给定二次和四次函数的凸性定义，通过代入导数和原函数并进行积分，即可证得目标泛函的凸性不等式。第二问则是推导带有边界条件的欧拉-拉格朗日方程。题目给出的不等式表明 $v$ 是泛函的一个极小值点（或者说变分大于等于零），这等价于泛函的一阶变分为零。通过引入测试函数 $\eta (x)$ 和参数 $\epsilon$，对 $\epsilon$ 求导并在 $\epsilon =0$ 处取零，结合分部积分法将导数项转移到测试函数上。利用变分学基本引理，先在边界处测试函数为零的情况下得到微分方程，再在边界处测试函数非零的情况下自然导出诺伊曼边界条件 $v^{\prime }(L)=0$。图中的第三问虽然只给出了非线性热传导方程的定义而没有具体问题，但通常此类题目后续会要求利用前两问的泛函构建能量函数，并证明该偏微分方程的能量耗散性质。