0461-1989 东大工 数学 WEB

偏微分方程 概率统计 随机游走

図のような$x$軸上の等間隔$\Delta x$の格子点にひとつの粒子が存在するとする。粒子は時間$\Delta t$ごとに他の格子点に移動することもあるが、格子点$j$から格子点$i$に移動する確率を$T_{ij}$とする（$i$と$j$は整数）。時間$t=n\Delta t$($n$は整数)に粒子が格子点$i$に存在する確率を$p_i^n$として、次の問(1)に答えよ。

(1) $p_i^{n+1}$を$T_{ij}$と$p_j^n$で表せ。
いま、$t$と$x$について連続な関数$P(t,x)$を考えて、時間$n\Delta t$、格子点$i$で$P(t,x)=p_i^n$となるようにする。$P(t,x)$は$t$について1回、$x$について2回微分可能とする。$\Delta t$と$\Delta x$が十分小さいとして、次の問(2),(3)に答えよ。

(2) 許されるすべての$i$に対して

$$T_{ij}=\{\begin{array}{ll}\alpha & (j=i\pm 1\text{ のとき}),\\ 1-2\alpha & (j=i\text{ のとき}),\\ 0& (\text{それ以外の }j\text{ のとき})\end{array}(\alpha \text{は}0\le \alpha \le 0.5\text{の定数})$$

とする。問(1)の結果から$\frac{(\Delta x{)}^2}{\Delta t}$が有限とすると、$P(t,x)$は近似的に

$$\frac{\partial P}{\partial t}=\mu \frac{{\partial }^{2}P}{\partial x^2}\left(\mu =\alpha \frac{(\Delta x{)}^2}{\Delta t}\right)$$

で支配されることを示せ。

(3) $P(t,x)$が

$$\frac{\partial P}{\partial t}=\beta \frac{\partial P}{\partial x}(\beta \text{はある定数})$$

で支配されるとしたとき、$T_{ij}$はどのような値を持つか。

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解答：

(1)
時刻 $(n+1)\Delta t$ に格子点 $i$ に粒子が存在する確率は、時刻 $n\Delta t$ に各格子点 $j$ に存在した粒子が格子点 $i$ へ遷移する確率の総和であるから、

$$\boxed{p_i^{n+1}=\sum _{j=-\infty }^{\infty }{T}_{ij}{p}_j^n}$$

(2)
与えられた $T_{ij}$ を (1) の式に代入すると、

$$p_i^{n+1}=\alpha p_{i-1}^n+(1-2\alpha )p_i^n+\alpha p_{i+1}^n$$

$P(t,x)=p_i^n$ の関係を用いて連続関数で表すと、

$$P(t+\Delta t,x)=\alpha P(t,x-\Delta x)+(1-2\alpha )P(t,x)+\alpha P(t,x+\Delta x)$$

式を整理すると、

$$P(t+\Delta t,x)-P(t,x)=\alpha \left[P(t,x+\Delta x)-2P(t,x)+P(t,x-\Delta x)\right]$$

両辺を $\Delta t$ で割り、右辺に $\frac{(\Delta x{)}^2}{(\Delta x{)}^2}$ を乗じると、

$$\frac{P(t+\Delta t,x)-P(t,x)}{\Delta t}=\alpha \frac{(\Delta x{)}^2}{\Delta t}\frac{P(t,x+\Delta x)-2P(t,x)+P(t,x-\Delta x)}{(\Delta x{)}^2}$$

ここで $\Delta t$ と $\Delta x$ が十分小さいとき、テイラー展開により

$$P(t+\Delta t,x)=P(t,x)+\frac{\partial P}{\partial t}\Delta t+O((\Delta t{)}^2)$$ $$P(t,x\pm \Delta x)=P(t,x)\pm \frac{\partial P}{\partial x}\Delta x+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}P}{\partial x^2}(\Delta x{)}^2+O((\Delta x{)}^3)$$

これらを用いると、微分の定義および中心差分の極限から

$$\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{P(t+\Delta t,x)-P(t,x)}{\Delta t}=\frac{\partial P}{\partial t}$$ $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{P(t,x+\Delta x)-2P(t,x)+P(t,x-\Delta x)}{(\Delta x{)}^2}=\frac{{\partial }^{2}P}{\partial x^2}$$

となる。したがって、$\mu =\alpha \frac{(\Delta x{)}^2}{\Delta t}$ が有限である極限をとることで、近似的に以下の偏微分方程式が得られる。

$$\frac{\partial P}{\partial t}=\mu \frac{{\partial }^{2}P}{\partial x^2}$$

(証明終)

(3)
(1) の式を連続極限でテイラー展開する。

$$\begin{array}{rl}P+\frac{\partial P}{\partial t}\Delta t+\dots & =\sum _j{T}_{ij}P(t,x+(j-i)\Delta x)\\ & =\sum _j{T}_{ij}\left[P+(j-i)\Delta x\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{1}{2}(j-i{)}^2(\Delta x{)}^2\frac{{\partial }^{2}P}{\partial x^2}+\dots \right]\end{array}$$

両辺の係数を比較すると、$\frac{\partial P}{\partial t}=\beta \frac{\partial P}{\partial x}$ に一致するためには、$\Delta t,\Delta x\to 0$ において以下の条件を満たす必要がある。

1. $\sum _j{T}_{ij}=1$ （確率の保存）
2. $\sum _j(j-i)T_{ij}=\beta \frac{\Delta t}{\Delta x}$
3. $\frac{(\Delta x{)}^2}{\Delta t}\sum _j(j-i{)}^2{T}_{ij}\to 0$

粒子が最近接の格子点にのみ移動すると仮定し、ドリフト（偏り）を持たせることで上記を満たす最も単純な $T_{ij}$ は以下のようになる。

$\beta >0$ のとき（波が負の方向へ進むため、粒子は $i+1$ から $i$ へ移動する）：

$$\boxed{T_{ij}=\{\begin{array}{ll}\beta \frac{\Delta t}{\Delta x}& (j=i+1)\\ 1-\beta \frac{\Delta t}{\Delta x}& (j=i)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}}$$

$\beta <0$ のとき（波が正の方向へ進むため、粒子は $i-1$ から $i$ へ移動する）：

$$\boxed{T_{ij}=\{\begin{array}{ll}-\beta \frac{\Delta t}{\Delta x}& (j=i-1)\\ 1+\beta \frac{\Delta t}{\Delta x}& (j=i)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}}$$

（ただし、これらは確率であるため $0\le T_{ij}\le 1$ を満たす範囲、すなわち $\Delta t\le \frac{\Delta x}{|\beta |}$ を前提とする。）

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本题深刻揭示了微观随机游走模型与宏观偏微分方程之间的内在物理联系，是统计力学和数值分析中非常核心的概念。第一问构建了离散状态下的马尔可夫链主方程（Master Equation），体现了全概率公式在时间演化中的应用。第二问通过赋予对称的转移概率，使得位移的一阶矩（期望）为零，而二阶矩（方差）随时间线性增长。在连续极限下，利用泰勒展开进行渐近分析，严格导出了抛物型偏微分方程，即经典的一维扩散方程（热传导方程），这也从微观层面解释了菲克扩散定律的起源。

第三问则将视线转向了双曲型偏微分方程——一阶对流方程（波动方程）。要得到仅含有空间一阶导数的对流项，宏观上要求波形以恒定速度平移，微观上则意味着粒子的随机游走必须打破空间对称性，具有明确的方向偏好（即带漂移的随机游走）。通过匹配泰勒展开的首阶项系数，我们可以推导出转移概率的非对称分布必须与波速的符号及大小相适应。在这里，为了消除二阶导数（扩散项）的残余影响，当空间步长趋于零时，我们需要保证转移概率构造出的数值格式不会引入明显的数值粘性。解答中给出的迎风格式（Upwind Scheme）构造，完美契合了这一要求。同时，为了保证转移概率的非负性，时间步长和空间步长之间必须满足柯朗-弗里德里希斯-柳维条件（CFL条件），这也是有限差分法中保证数值计算稳定性的物理本质所在。