0459-1989 东大工 数学 WEB

常微分方程 积分因子 全微分方程

微分方程式

$$y\mathrm{d}x+(x-x^3{y}^2)\mathrm{d}y=0(1)$$

について、次の問に答えよ。

(1) 上式の両辺に$x^m{y}^n$を乗じたとき、微分方程式が

$$\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y=0(\mathrm{m})$$

の形になるための$m,n$の条件を求めよ。ただし、$f=f(x,y)$である。

(2) (1)式の微分方程式を解け。

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解答：

(1)
(1)式の両辺に $x^m{y}^n$ を乗じると

$$x^m{y}^{n+1}\mathrm{d}x+(x^{m+1}{y}^n-x^{m+3}{y}^{n+2})\mathrm{d}y=0$$

これが式(m)のような完全微分方程式となるための条件は

$$\frac{\partial }{\partial y}(x^m{y}^{n+1})=\frac{\partial }{\partial x}(x^{m+1}{y}^n-x^{m+3}{y}^{n+2})$$

それぞれの偏微分を計算すると

$$(n+1)x^m{y}^n=(m+1)x^m{y}^n-(m+3)x^{m+2}{y}^{n+2}$$

これが任意の $x,y$ について恒等的に成り立つためには、各項の係数が等しくなる必要がある。

$$\begin{array}{rl}n+1& =m+1\\ 0& =-(m+3)\end{array}$$

これを解いて

$$\boxed{m=-3,n=-3}$$

(2)
(1)で求めた $m=-3,n=-3$ を用いて、元の微分方程式に積分因子 $x^{-3}{y}^{-3}$ を乗じると

$$x^{-3}{y}^{-2}\mathrm{d}x+(x^{-2}{y}^{-3}-y^{-1})\mathrm{d}y=0$$

これは完全微分方程式であり、求める関数 $f(x,y)$ は次を満たす。

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial f}{\partial x}& =x^{-3}{y}^{-2}\\ \frac{\partial f}{\partial y}& =x^{-2}{y}^{-3}-y^{-1}\end{array}$$

第1式を $x$ について積分すると、任意関数 $g(y)$ を用いて

$$f(x,y)=-\frac{1}{2}{x}^{-2}{y}^{-2}+g(y)$$

これを $y$ で偏微分して第2式と比較すると

$$x^{-2}{y}^{-3}+g^{\prime }(y)=x^{-2}{y}^{-3}-y^{-1}$$ $$g^{\prime }(y)=-y^{-1}$$

積分して

$$g(y)=-\log |y|+C_1(C_1\text{は積分定数})$$

したがって

$$f(x,y)=-\frac{1}{2x^2{y}^2}-\log |y|+C_1$$

解は $f(x,y)=C_2$ ($C_2$は定数) で与えられるため、任意定数をまとめて $C$ とおくと

$$\boxed{\frac{1}{2x^2{y}^2}+\log |y|=C}$$

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本题考查了常微分方程中积分因子的求解以及完全微分方程（全微分方程）的解法。第一问通过在原方程两边乘上待定的多项式积分因子，利用完全微分方程的充要条件，即交叉偏导数相等，构造出关于未知指数的恒等式。通过对比同次项系数，即可解出相应的指数值。第二问直接利用第一问求得的积分因子，将原方程转化为完全微分方程，通过偏积分的方法求出原函数，并得到隐函数形式的通解。此外，原方程也可以通过观察法进行求解。将原式改写并重新组合，可以发现其中包含了全微分项的结构，即构造出关于xy乘积的微分，两边直接积分同样能够得出完全一致的结果。