0457-1989 东大工 数学 WEB

线性代数 特征值与特征向量 极限与敛散性

3次元実線型空間$W$のベクトル列$\{{\mathbf{x}}_k\}$は${\mathbf{x}}_0$が与えられたとき、$k\ge 1$に対して

$${\mathbf{x}}_k=\left(\begin{array}{ccc}a& b& 0\\ b& a& b\\ 0& b& a\end{array}\right){\mathbf{x}}_{k-1}$$

によって定まるものとする。ただし、$a>0,b\ge 0$である。以下の設問に答えよ。

(1) 任意の${\mathbf{x}}_0\in W$に対して$k⟶\infty$のとき${\mathbf{x}}_k$が零ベクトルに収束するために$a,b$の満たすべき条件を求め、$a,b$のとりうる値の範囲を$a$-$b$平面上に図示せよ。

(2) 任意の${\mathbf{x}}_0\in W$に対して$k⟶\infty$のとき${\mathbf{x}}_k$が零ベクトル以外のベクトルに収束するための条件を示せ。

(3) $k⟶\infty$のとき${\mathbf{x}}_k$が発散も収束もしない（すなわち、振動する）とする。このとき$a,b$および${\mathbf{x}}_0$が満たすべき条件を求めよ。

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解答：

係数行列を $A=\left(\begin{array}{ccc}a& b& 0\\ b& a& b\\ 0& b& a\end{array}\right)$ とおく。
$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、固有方程式 $\det (A-\lambda I)=0$ は

$$\begin{array}{rl}\left|\begin{array}{ccc}a-\lambda & b& 0\\ b& a-\lambda & b\\ 0& b& a-\lambda \end{array}\right|& =(a-\lambda )\{(a-\lambda {)}^2-b^2\}-b\{b(a-\lambda )\}\\ & =(a-\lambda )\{(a-\lambda {)}^2-2b^2\}=0\end{array}$$

よって、固有値は ${\lambda }_1=a+\sqrt{2}b,{\lambda }_2=a,{\lambda }_3=a-\sqrt{2}b$ である。
対応する固有ベクトルをそれぞれ ${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ \sqrt{2}\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right),{\mathbf{v}}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ -\sqrt{2}\\ 1\end{array}\right)$ と選ぶと、これらは互いに直交する基底となる。
${\mathbf{x}}_0=c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+c_3{\mathbf{v}}_3$ と表すとき、

$${\mathbf{x}}_k=A^k{\mathbf{x}}_0=c_1{\lambda }_1^k{\mathbf{v}}_1+c_2{\lambda }_2^k{\mathbf{v}}_2+c_3{\lambda }_3^k{\mathbf{v}}_3$$

(1)
任意の ${\mathbf{x}}_0$ に対して ${\mathbf{x}}_k\to 0$ となる条件は、すべての固有値の絶対値が $1$ 未満であることである。すなわち

$$|{\lambda }_1|<1,|{\lambda }_2|<1,|{\lambda }_3|<1$$

$a>0,b\ge 0$ より ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge {\lambda }_3$ かつ ${\lambda }_1>0$ であるため、
条件は ${\lambda }_1=a+\sqrt{2}b<1$ かつ ${\lambda }_3=a-\sqrt{2}b>-1$ となる。
$a+\sqrt{2}b<1$ ならば $\sqrt{2}b<1-a$ であり、$a>0,b\ge 0$ より $0<a<1$ となる。
このとき $a-\sqrt{2}b>a-(1-a)=2a-1>-1$ となり、${\lambda }_3>-1$ は自動的に満たされる。
よって求める条件は

$$\boxed{a+\sqrt{2}b<1(a>0,b\ge 0)}$$

図示する領域は、$a$軸、$b$軸および直線 $a+\sqrt{2}b=1$ で囲まれる直角三角形の内部である。（ただし、$b=0$ 上の線分 $0<a<1$ は含み、他の境界線は含まない）

(2)
${\mathbf{x}}_0=0$ のときは常に $0$ に収束するため、題意を「任意の ${\mathbf{x}}_0$ について ${\mathbf{x}}_k$ が収束し、かつ極限が恒等的に零ベクトルにならない（$\underset{k\to \infty }{\lim }{A}^k\ne O$）」と解釈する。
このための条件は、最大固有値が $1$ であり、他の固有値の絶対値が $1$ 未満（または $1$）となることである。
$a>0,b\ge 0$ より最大の固有値は ${\lambda }_1$ であるから、

$${\lambda }_1=a+\sqrt{2}b=1$$

このとき ${\lambda }_2=a\in (0,1]$、${\lambda }_3=a-\sqrt{2}b=2a-1\in (-1,1]$ となり収束条件を満たす。

$$\boxed{a+\sqrt{2}b=1(a>0,b\ge 0)}$$

（※もし「任意の ${\mathbf{x}}_0\ne 0$ に対して」と厳密に解釈した場合、すべての固有値が $1$ となる必要があり、条件は $a=1,b=0$ となる）

(3)
数列が振動する条件は、$c_i\ne 0$ となる成分において、対応する固有値が ${\lambda }_i>1$ または ${\lambda }_i\le -1$ を満たすことである。
${\mathbf{x}}_0=\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\\ z_0\end{array}\right)$ とおくと、各固有ベクトル成分 $c_1,c_2,c_3$ はそれぞれ $x_0+\sqrt{2}{y}_0+z_0$, $x_0-z_0$, $x_0-\sqrt{2}{y}_0+z_0$ に比例する。
したがって、$a,b$ および ${\mathbf{x}}_0$ が満たすべき条件は、以下の(i), (ii), (iii)の少なくとも1つが成り立つことである。

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{(i)}a+\sqrt{2}b>1\text{ かつ }{x}_0+\sqrt{2}{y}_0+z_0\ne 0\\ & \text{(ii)}a>1\text{ かつ }{x}_0-z_0\ne 0\\ & \text{(iii)}a-\sqrt{2}b>1\text{ または }a-\sqrt{2}b\le -1\text{ かつ }{x}_0-\sqrt{2}{y}_0+z_0\ne 0\end{array}}$$

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此题考察了线性代数中矩阵特征值与特征向量在迭代序列（差分方程）中的应用。通过求解实对称矩阵的特征值，我们可以利用正交基将初始向量展开，从而将矩阵的幂运算转化为各个特征值幂的运算。

关于第二问的题意理解，日文原题“任意の ${\mathbf{x}}_0$ に対して……零ベクトル以外のベクトルに収束する”在字面逻辑上存在悖论，因为当初始向量本身就是零向量时，其极限必然是零向量。因此，在考试中通常存在两种合理的等效理解：

1. 极限矩阵不为零矩阵：即序列对于任何初始值都收敛，但极限不仅限于零向量（存在收敛到非零向量的情况），这就要求矩阵的最大特征值为 1。此为最常见的意图，解答中以此作为主答案。
2. 任意“非零”初始向量均收敛于非零向量：这就要求无论在哪个特征子空间上的投影，只要不为零，其模长都不会在迭代中衰减，此时意味着所有特征值都必须等于 1，从而退化为单位矩阵（$a=1,b=0$）。
   在解答时，点出这一逻辑细节能够体现思维的严密性。第三问则是对序列敛散性分类讨论的全面考察，需要根据不同特征值可能超出收敛区间 $(-1,1]$ 的情况，分别对初始向量在对应特征空间上的投影系数进行非零限制。