0456-1989 东大工 数学 WEB

微分积分 拉格朗日乘数法 极值问题

デカルト座標$(x,y,z)$を用いて

$$\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}+\frac{z^2}{C^2}=1(A,B,C>0)(\mathrm{k})$$

と表される楕円面、および、これと交わらない平面

$$ax+by+cz=d(a,b,c,d>0)$$

がある。

(1) 楕円面上の点から平面上の点までの最短距離を求めよ。

(2) 式(k)で表される曲面によって囲まれる楕円体の体積$V$を一定とし、$A,B,$および$C$を変化させるとき、(1)で求めた最短距離の最大値を求めよ。

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解答：

(1)
楕円面上の点を $(x_0,y_0,z_0)$ とする。この点における接平面が与えられた平面と平行になるとき、距離が極値となる。
接平面の法線ベクトルは

$$\mathbf{n}=\left(\frac{2x_0}{A^2},\frac{2y_0}{B^2},\frac{2z_0}{C^2}\right)$$

であり、これが平面の法線ベクトル $(a,b,c)$ と平行になるため、実数 $k$ を用いて

$$\frac{x_0}{A^2}=ka,\frac{y_0}{B^2}=kb,\frac{z_0}{C^2}=kc$$ $$x_0=k{A}^{2}a,y_0=k{B}^{2}b,z_0=k{C}^{2}c$$

と表せる。これらを楕円面の方程式に代入すると

$$\frac{(k{A}^{2}a{)}^2}{A^2}+\frac{(k{B}^{2}b{)}^2}{B^2}+\frac{(k{C}^{2}c{)}^2}{C^2}=1$$ $$k^2(A^2{a}^2+B^2{b}^2+C^2{c}^2)=1$$ $$k=\pm \frac{1}{\sqrt{A^2{a}^2+B^2{b}^2+C^2{c}^2}}$$

楕円面と平面が交わらず、$d>0$ であることから、最短距離を与える接点は $k>0$ の場合である。このとき接点から平面への距離 $L$ は

$$L=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

ここで

$$a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0=k(A^2{a}^2+B^2{b}^2+C^2{c}^2)=\sqrt{A^2{a}^2+B^2{b}^2+C^2{c}^2}$$

平面が楕円面の外側にあり $d>\sqrt{A^2{a}^2+B^2{b}^2+C^2{c}^2}$ となるため、最短距離は

$$\boxed{L=\frac{d-\sqrt{A^2{a}^2+B^2{b}^2+C^2{c}^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$$

(2)
楕円体の体積 $V$ は

$$V=\frac{4}{3}\pi ABC$$

最短距離 $L$ が最大となるのは、$\sqrt{A^2{a}^2+B^2{b}^2+C^2{c}^2}$ が最小となるときである。相加相乗平均の大小関係より

$$A^2{a}^2+B^2{b}^2+C^2{c}^2\ge 3\sqrt[3]{A^2{a}^2\cdot B^2{b}^2\cdot C^2{c}^2}=3(ABCabc{)}^{\frac{2}{3}}$$

等号成立条件は $A^2{a}^2=B^2{b}^2=C^2{c}^2$ のときである。
$ABC=\frac{3V}{4\pi }$ を代入すると、平方根の中身の最小値は

$$3{\left(\frac{3V}{4\pi }abc\right)}^{\frac{2}{3}}$$

したがって、平方根の最小値は

$$\sqrt{3}{\left(\frac{3Vabc}{4\pi }\right)}^{\frac{1}{3}}$$

以上より、最短距離の最大値 $L_{\max }$ は

$$\boxed{L_{\max }=\frac{d-\sqrt{3}{\left(\frac{3Vabc}{4\pi }\right)}^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$$

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解答涉及到空间曲面的切平面性质与距离公式，计算椭球面外给定平面到椭球面的最短距离时，通常通过寻找与已知平面平行的切平面对应的切点来得到极值。由于题目明确表明平面与椭球面不相交，而且参数均为正，因此可以直接推断出平面的截距大于椭球面相应方向的最大切截距，用两者的截距之差即可得出结论。第二问运用了多元变量求极值的方法，由于存在体积常数的限制条件，通过使用算术几何平均不等式可以巧妙地得出关于变量乘积的最小值，从而求出距离的最大值。这种方式相较于使用拉格朗日乘数法求导，可以大幅减少计算量并明确等号成立的条件。