半径 の3種類の球を、次の方法で空間に規則的に配置する。まず、下図のように、半径 の球と の球を、一方のサイズの球が他方のサイズのちょうど3個の球と接し、しかもそれらの中心が一つの水平面上で正六角形をなすように並べて、一つの層を作る。次に、半径 の球を、半径 の球と接し、しかもその中心が正六角形の重心の真上にくるように置いて、第二の層を交互に重ね合わせて空間全体をうめる。
このとき、次の問に答えよ。
(1) このような配置を実現できるためには、 の間にどのような関係が必要か。
(2) のとき、全空間に対して球が占める体積比率を求めよ。
解答：
(1)
第1層において、 球と 球の中心がなす正六角形の1辺の長さは である。
正六角形の重心から各頂点（ 球の中心）までの水平距離は である。第1層と第2層の垂直距離を とすると、第2層の 球は 球と接するため、三平方の定理より次式が成り立つ。
このような配置が実現するための条件は、空間内のどの2球も互いに食い込まない（重ならない）ことである。
(i) 同一層内の非重なり条件：
第2層の 球は、正六角形の重心の真上に配置されるため、中心間距離が の正三角形格子をなす。したがって、
（条件 より、第1層の 球同士の非重なり条件 も同時に満たされる。）
(ii) 異なる層の非重なり条件：
第1層と第2層を「交互に重ね合わせて」配置するため、第1層と第3層、第2層と第4層はそれぞれ垂直に 離れた同じ水平位置に配置される。各球が重ならないためには、最大の半径をもつ 球に着目して、
（条件 より、第1層と第3層の非重なり条件 も同時に満たされる。）
両辺を2乗して の式を代入すると、
以上より、求める関係式は
(2)
のとき、(1)で求めた条件を満たしている。
空間全体は、第1層の正六角形を底面とし、高さ をもつ六角柱を単位格子として周期的に分割できる。
単位格子の底面積 は、1辺 の正六角形の面積であるから、
単位格子の高さ は、
単位格子の体積 は、
この単位格子内には、第1層の 球と 球がそれぞれ1個分（各頂点は3つの六角形に共有されるため 個の頂点分）、第2層の 球が重心位置に1個含まれる。
したがって、単位格子内に含まれる球の総体積 は、
求める体積比率は、
本题考查了三维空间中球体堆积（晶体结构）的几何模型分析与空间占有率计算。
第一问的关键在于分析出各层球体中心的几何位置关系。底层（第1层）的 球和 球交替排列形成蜂窝状平面晶格，其中心构成边长为 的正六边形。第2层的 球位于正六边形几何中心的正上方，由于与底层的3个 球相切，利用勾股定理即可求出两层之间的垂直高度差 。要使整个空间能够实现上述的周期性堆积且球体互不发生干涉（互不嵌入），必须满足两个维度的非重叠条件：
- 同一层内的球不能重叠：这要求 球之间的水平距离 必须大于或等于其直径 。
- 不同层间的球不能重叠：由于是交替堆积（即第1层与第3层位置对应，第2层与第4层位置对应），对应位置上的球之间的高度差为 。为防止重叠，层间距 必须大于等于体系中最大球体的直径 。化简不等式 即可得到涉及 的代数关系。
第二问则是计算该特定结构的空间占有率（即致密度）。通过选取一个以正六边形为底面、高度为 （刚好包含一次完整的 AB 堆积周期）的六角柱作为晶胞（类似于 Wigner-Seitz 晶胞的划分）。根据几何对称性，该晶胞内恰好完整包含 球、 球、 球各1个。分别计算出六角柱晶胞的总体积，以及其内部这3个球体的体积之和，两者相除并化简，即可得到全空间中球体所占的体积比率。