0454-1988 东大工 数学 WEB

概率统计 连续型随机变量 几何概率 均匀分布

下図のように、$x$ 軸上の点 $\mathrm{S}(s,0)$ は $s$ が $[-1,+1]$ なる一様分布をし、また直線 $y=1$ 上の点 $\mathrm{T}(t,1)$ は $t$ が $[-1,+1]$ なる一様分布をする。なお両者は互いに独立である。直線 $\mathrm{ST}$ は直線 $y=a$ (ただし $a>2$) と交わる点を $\mathrm{U}(u,a)$ とする。以下の問に答えよ。

(1) 点 $T$ が $t=t_0$ に確定したとき、点 $\mathrm{U}$ が $|u|\le u_0$ である確率 $p_1$ を求める式を導出せよ。
(2) 点 $\mathrm{S},\mathrm{T}$ がそれぞれ上述の分布をするとき、点 $\mathrm{U}$ が $|u|\le 0.5$ である確率 $p_0$ を求めよ。ただし $a=3$ とする。

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解答：
(1)
直線 $\mathrm{ST}$ を表すパラメータ方程式は、媒介変数 $\lambda$ を用いて次のように表せる。

$$\{\begin{array}{l}x=s+\lambda (t-s)\\ y=\lambda \end{array}$$

点 $\mathrm{U}$ はこの直線と $y=a$ の交点であるため、$\lambda =a$ を代入して $x$ 座標 $u$ を求めると、

$$u=s+a(t-s)=at-(a-1)s$$

となる。点 $\mathrm{T}$ が $t=t_0$ に確定しているとき、$u=a{t}_0-(a-1)s$ となる。
求める事象 $|u|\le u_0$ は、

$$-u_0\le a{t}_0-(a-1)s\le u_0$$

と表される。条件より $a>2$ なので $a-1>0$ である。これを $s$ について解くと、

$$\frac{a{t}_0-u_0}{a-1}\le s\le \frac{a{t}_0+u_0}{a-1}$$

$s$ は区間 $[-1,1]$ 上の一様分布に従うため、その確率密度関数は $f(s)=\frac{1}{2}(-1\le s\le 1)$ である。
したがって、求める確率 $p_1$ は区間 $[-1,1]$ と区間 $\left[\frac{a{t}_0-u_0}{a-1},\frac{a{t}_0+u_0}{a-1}\right]$ の共通部分の長さを区間全体の長さ $2$ で割ったものとなる。

$$\boxed{p_1=\frac{1}{2}\max \left(0,\min \left(1,\frac{a{t}_0+u_0}{a-1}\right)-\max \left(-1,\frac{a{t}_0-u_0}{a-1}\right)\right)}$$

(2)
$a=3$ のとき、$u=3t-2s$ となる。
点 $\mathrm{U}$ について $|u|\le 0.5$ となる条件は、

$$-0.5\le 3t-2s\le 0.5$$

これを $t$ について解くと、

$$\frac{2s-0.5}{3}\le t\le \frac{2s+0.5}{3}$$

点 $\mathrm{S},\mathrm{T}$ はそれぞれ独立に $[-1,1]$ 上の一様分布に従うため、$(s,t)$ の同時確率密度関数は $f(s,t)=\frac{1}{4}(-1\le s\le 1,-1\le t\le 1)$ である。
積分領域において $s\in [-1,1]$ のとき、
$t$ の下限の最小値は $\frac{2(-1)-0.5}{3}=-\frac{5}{6}\ge -1$
$t$ の上限の最大値は $\frac{2(1)+0.5}{3}=\frac{5}{6}\le 1$
となり、変数 $t$ の積分範囲は常に区間 $[-1,1]$ の内側に収まる。
したがって、求める確率 $p_0$ は次のように二重積分で計算できる。

$$\begin{array}{rl}{p}_0& ={\iint }_{|3t-2s|\le 0.5}f(s,t)\mathrm{d}s\mathrm{d}t\\ & ={\int }_{-1}^1\left({\int }_{\frac{2s-0.5}{3}}^{\frac{2s+0.5}{3}}\frac{1}{4}\mathrm{d}t\right)\mathrm{d}s\\ & =\frac{1}{4}{\int }_{-1}^1\left(\frac{2s+0.5}{3}-\frac{2s-0.5}{3}\right)\mathrm{d}s\\ & =\frac{1}{4}{\int }_{-1}^1\frac{1}{3}\mathrm{d}s\\ & =\frac{1}{12}{\left[s\right]}_{-1}^1\\ & =\frac{1}{6}\end{array}$$

したがって、

$$\boxed{p_0=\frac{1}{6}}$$

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本题考查了连续型随机变量函数的分布以及几何概率的计算。
首先，需要利用直线参数方程或者相似三角形的几何关系，将交点横坐标 $u$ 表示为随机变量 $s$ 和 $t$ 的函数形式。
在第 (1) 问中，$t$ 被固定为常数 $t_0$，此时 $u$ 仅是 $s$ 的一元线性函数。通过解不等式找出满足条件的 $s$ 的区间，由于 $s$ 遵循 $[-1,1]$ 上的均匀分布，概率即为该目标区间与定义域区间重合部分的长度占总长度的比例。为了给出严谨的数学公式，利用了 $\max$ 和 $\min$ 函数来表示区间的截断。
在第 (2) 问中，$s$ 和 $t$ 均为随机变量，这是一个典型的二维几何概率问题。将目标条件化为关于 $t$ 的不等式后，可以将其看作是在正方形 $[-1,1]\times [-1,1]$ 内求解特定区域的面积。通过检查上下界极值，我们发现这个区域完全被包含在正方形的上下边界（$t=\pm 1$）之间，没有发生截断。因此，可以直接在整个 $s\in [-1,1]$ 上进行简单的二重积分（或理解为底为常数的高所在的平行四边形面积），最后除以正方形总面积即可得到最终概率。