0451-1988 东大工 数学 WEB

线性代数 特征值与特征向量 矩阵的逆

各要素が次式で表現される $n$ 次正方行列 $A=[a_{ij}]$ に関し、以下の設問に答えよ。

$$\{\begin{array}{ll}{a}_{ij}=j& (i\le j)\\ a_{ij}=0& (i>j)\end{array}$$

(1) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めよ。
(2) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ のすべての固有値を求め、最大固有値に対応する固有ベクトル ${\mathbf{x}}_1$ および最小固有値に対応する固有ベクトル ${\mathbf{x}}_n$ を求めよ。
(3) ${\mathbf{x}}_1$ 以外の固有ベクトルの線形結合として表現される $n$ 次元ベクトル $\mathbf{x}$ に対し、$\underset{k\to \infty }{\lim }{A}^{-k}\mathbf{x}=0$ が成立することを証明せよ。ただし、$0$ は零ベクトルである。

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解答：
(1)
行列 $A$ は次のような上三角行列である。

$$A=\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& \cdots & n\\ 0& 2& 3& \cdots & n\\ 0& 0& 3& \cdots & n\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & n\end{array}\right]$$

$A^{-1}=[b_{ij}]$ とおくと、$A{A}^{-1}=I$ である。$A$ の第 $i$ 行と第 $i+1$ 行の差分を考えると、$A^{-1}$ も上三角行列であり、その要素は $b_{ii}=\frac{1}{i}$、$b_{i,i+1}=-\frac{1}{i}$、その他の要素は $0$ となる。

$$\boxed{A^{-1}=\left[\begin{array}{ccccc}1& -1& 0& \cdots & 0\\ 0& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& \cdots & 0\\ 0& 0& \frac{1}{3}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & \frac{1}{n}\end{array}\right]}$$

(2)
$A^{-1}$ は上三角行列であるため、固有値はその対角成分に等しい。

$$\boxed{\text{すべての固有値}:{\lambda }_i=\frac{1}{i}(i=1,2,\dots ,n)}$$

最大固有値は ${\lambda }_1=1$、最小固有値は ${\lambda }_n=\frac{1}{n}$ である。

最大固有値 $1$ に対応する固有ベクトル ${\mathbf{x}}_1$ を求める。$(A^{-1}-I){\mathbf{x}}_1=0$ より、

$$\left[\begin{array}{ccccc}0& -1& 0& \cdots & 0\\ 0& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0& \frac{1}{n}-1\end{array}\right]{\mathbf{x}}_1=0$$

これより、第 $2$ 成分から第 $n$ 成分はすべて $0$ となる。

$$\boxed{{\mathbf{x}}_1=c_1\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right](c_1\ne 0)}$$

最小固有値 $\frac{1}{n}$ に対応する固有ベクトル ${\mathbf{x}}_n=[v_1,v_2,\dots ,v_n{]}^T$ を求める。$(A^{-1}-\frac{1}{n}I){\mathbf{x}}_n=0$ より、

$$\left(\frac{1}{i}-\frac{1}{n}\right)v_i-\frac{1}{i}{v}_{i+1}=0(i=1,2,\dots ,n-1)$$

整理すると、

$$v_i=\frac{n}{n-i}{v}_{i+1}$$

$v_n=1$ とおくと、帰納的に $v_i=\frac{n^{n-i}}{(n-i)!}$ となる。

$$\boxed{{\mathbf{x}}_n=c_n\left[\begin{array}{c}\frac{n^{n-1}}{(n-1)!}\\ \frac{n^{n-2}}{(n-2)!}\\ ⋮\\ n\\ 1\end{array}\right](c_n\ne 0)}$$

(3)
${\mathbf{x}}_1$ 以外の固有ベクトルを ${\mathbf{u}}_2,{\mathbf{u}}_3,\dots ,{\mathbf{u}}_n$ とし、それぞれ固有値 ${\lambda }_i=\frac{1}{i}(i=2,\dots ,n)$ に対応するとする。
ベクトル $\mathbf{x}$ はこれらの線形結合で表されるため、定数 $k_i$ を用いて次のように表せる。

$$\mathbf{x}=\sum _{i=2}^n{k}_i{\mathbf{u}}_i$$

両辺に $A^{-k}$ を左からかけると、

$$A^{-k}\mathbf{x}=A^{-k}\sum _{i=2}^n{k}_i{\mathbf{u}}_i=\sum _{i=2}^n{k}_i{A}^{-k}{\mathbf{u}}_i=\sum _{i=2}^n{k}_i({\lambda }_i{)}^k{\mathbf{u}}_i$$

ここで、$i\ge 2$ のとき ${\lambda }_i=\frac{1}{i}<1$ であるから、

$$\underset{k\to \infty }{\lim }({\lambda }_i{)}^k=0(i=2,3,\dots ,n)$$

したがって、

$$\underset{k\to \infty }{\lim }{A}^{-k}\mathbf{x}=\sum _{i=2}^n{k}_i\left(\underset{k\to \infty }{\lim }({\lambda }_i{)}^k\right){\mathbf{u}}_i=0$$

が成立する。(証明終)

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本题主要考察了特殊矩阵（上三角矩阵）的求逆、特征值与特征向量的求解，以及矩阵乘方的极限性质。
在第一问中，给定的矩阵 $A$ 具有非常规律的上三角形式。通过直接对基本行变换进行观察，或者利用逆矩阵定义 $A{A}^{-1}=I$ 的结构特性，可以容易推断出 $A^{-1}$ 也是上三角矩阵，且因为原矩阵行与行之间高度相似，逆矩阵展现出仅有主对角线和其上方相邻一条对角线非零的稀疏结果。
在第二问中，由于上三角矩阵的特征值即为其对角线元素，故所有特征值可直接读出，进而找出最大和最小特征值。在求解对应最小特征值的特征向量时，带入方程组会得到一个相邻分量之间的递推关系，通过设定最后一个分量的值并向后推导，即可得到包含阶乘规律的特征向量通项。
在第三问中，通过将目标向量表示为不同特征向量的线性组合，可以有效将矩阵的高次幂运算转换为对应特征值的高次幂运算。因为所给向量不包含对应于最大特征值 $1$ 的特征向量，其余所有参与组合的特征向量所对应的特征值绝对值均小于 $1$，因此在指数趋于无穷大时它们会收敛到零，直接利用极限的四则运算法则即可证明最终结果为零向量。