0450-1988 东大工 数学 WEB

常微分方程 自变量代换法 二阶线性微分方程

(1) 微分方程式

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+P(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+Q(x)y=R(x)$$
の独立変数を $x$ から $t$ に変え、$y$ の $t$ に関する微分方程式
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}+S(t)y=T(t)$$
に変換したい。このときの $x$ から $t$ への変換は
$$t=\int \exp \left(-\int P(x)\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}x$$
で与えられることを示せ。
このとき、$S(t),T(t)$ を $P,Q,R$ を用いて表せ。

(2) (1)で得た変換を利用して、次の微分方程式の解で $x=0$ において $y=1$、$x=\frac{\pi }{2}$ において $y=\frac{\sin n}{2n}$ となるものを求めよ。

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+\tan x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+(n^2{\cos }^{2}x)y={\cos }^{2}x\cdot \cos (n\cdot \sin x)(n\ne 0)$$

---

解答：
(1)
連鎖律より、

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$$
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}{\left(\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\right)}^2+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\frac{{\mathrm{d}}^{2}t}{\mathrm{d}{x}^2}$$
原方程式に代入すると、
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}{\left(\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\right)}^2+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\frac{{\mathrm{d}}^{2}t}{\mathrm{d}{x}^2}+P(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}+Q(x)y=R(x)$$
整理して、
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}+\frac{\frac{{\mathrm{d}}^{2}t}{\mathrm{d}{x}^2}+P(x)\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}}{{\left(\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\right)}^2}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\frac{Q(x)}{{\left(\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\right)}^2}y=\frac{R(x)}{{\left(\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\right)}^2}$$
$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ の係数が $0$ となる条件より、
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}t}{\mathrm{d}{x}^2}+P(x)\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=0$$
変数分離により積分すると、
$$\ln \left|\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\right|=-\int P(x)\mathrm{d}x$$
$$\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\exp \left(-\int P(x)\mathrm{d}x\right)$$
両辺を積分して、
$$t=\int \exp \left(-\int P(x)\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}x$$
(証明終)

比較により $S(t),T(t)$ は、

$$\begin{array}{rl}S(t)& =\frac{Q(x)}{{\left(\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\right)}^2}=Q(x)\exp \left(2\int P(x)\mathrm{d}x\right)\\ T(t)& =\frac{R(x)}{{\left(\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\right)}^2}=R(x)\exp \left(2\int P(x)\mathrm{d}x\right)\end{array}$$

(2)
与えられた方程式において、

$$P(x)=\tan x,Q(x)=n^2{\cos }^{2}x,R(x)={\cos }^{2}x\cos (n\sin x)$$
(1)の変換を適用する。
$$\int P(x)\mathrm{d}x=\int \tan x\mathrm{d}x=-\ln (\cos x)$$
$$t=\int \exp (\ln (\cos x))\mathrm{d}x=\int \cos x\mathrm{d}x=\sin x$$
$$S(t)=\frac{n^2{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=n^2$$
$$T(t)=\frac{{\cos }^{2}x\cos (n\sin x)}{{\cos }^{2}x}=\cos (n\sin x)=\cos (nt)$$
変換後の方程式は、
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}+n^{2}y=\cos (nt)$$
一般解は、
$$y(t)=C_1\cos (nt)+C_2\sin (nt)+\frac{t}{2n}\sin (nt)$$
$x$ の関数に戻すと、
$$y(x)=C_1\cos (n\sin x)+C_2\sin (n\sin x)+\frac{\sin x}{2n}\sin (n\sin x)$$
初期条件より、$x=0$ のとき $y=1$、
$$1=C_1\cos (0)+C_2\sin (0)+0⟹C_1=1$$
$x=\frac{\pi }{2}$ のとき $y=\frac{\sin n}{2n}$、
$$\frac{\sin n}{2n}=\cos (n)+C_2\sin (n)+\frac{1}{2n}\sin (n)$$
$$\cos (n)+C_2\sin (n)=0⟹C_2=-\cot n$$
したがって、求める解は
$$\boxed{y=\cos (n\sin x)-\cot n\sin (n\sin x)+\frac{\sin x}{2n}\sin (n\sin x)}$$

---

本题主要考察了二阶线性常微分方程的自变量代换法以及常系数非齐次线性微分方程的求解。在第一问中，通过引入新变量，利用复合函数求导法则将原方程的一阶导数项消除，从而将变系数微分方程转化为可能更容易求解的形式。在第二问中，直接应用第一问推导出的公式，计算出代换后的自变量以及新的系数和右端项，成功将原方程转化为二阶常系数线性非齐次微分方程。对于转化后的方程，可以通过特征方程求出相应的齐次解，并利用待定系数法求出特定形式的特解。最后，将求得的通解还原为原自变量的函数，并代入给定的边界条件，解出任意常数即可得到最终答案。在整个计算过程中需要熟练掌握三角函数的积分以及基本的三角恒等变换技巧。