0449-1987 东大工 数学 WEB

微分积分 二重积分 变量代换 雅可比行列式

2重積分

$$I={\iint }_{\mathrm{D}}(x-y{)}^2{\sin }^2(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

の値を求めよ。ただし、$\mathrm{D}$ は $(\pi ,0),(2\pi ,\pi ),(\pi ,2\pi ),(0,\pi )$ を4頂点とする正方形とする。

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解答：

$u=x+y,v=x-y$ と変数変換を行う。
$x,y$ について解くと

$$x=\frac{u+v}{2},y=\frac{u-v}{2}$$

この変換に対するヤコビアン $J$ は

$$J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\det \left(\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right)=\det \left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)=-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$$

面積要素は $\mathrm{d}x\mathrm{d}y=|J|\mathrm{d}u\mathrm{d}v=\frac{1}{2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v$ となる。
また、積分領域 $\mathrm{D}$ の境界を構成する4つの頂点を順に結ぶ直線の方程式は以下のようになる。
$(\pi ,0)$ と $(2\pi ,\pi )$ を結ぶ直線：$x-y=\pi ⟹v=\pi$
$(2\pi ,\pi )$ と $(\pi ,2\pi )$ を結ぶ直線：$x+y=3\pi ⟹u=3\pi$
$(\pi ,2\pi )$ と $(0,\pi )$ を結ぶ直線：$x-y=-\pi ⟹v=-\pi$
$(0,\pi )$ と $(\pi ,0)$ を結ぶ直線：$x+y=\pi ⟹u=\pi$
したがって、変換後の積分領域 ${\mathrm{D}}^{\prime }$ は

$${\mathrm{D}}^{\prime }=\{(u,v)\mid \pi \le u\le 3\pi ,-\pi \le v\le \pi \}$$

で表される。
これを用いて積分 $I$ を計算する。

$$\begin{array}{rl}I& ={\iint }_{{\mathrm{D}}^{\prime }}{v}^2{\sin }^{2}u\left(\frac{1}{2}\right)\mathrm{d}u\mathrm{d}v\\ & =\frac{1}{2}\left({\int }_{\pi }^{3\pi }{\sin }^{2}u\mathrm{d}u\right)\left({\int }_{-\pi }^{\pi }{v}^2\mathrm{d}v\right)\end{array}$$

各々の定積分を計算する。

$${\int }_{-\pi }^{\pi }{v}^2\mathrm{d}v={\left[\frac{v^3}{3}\right]}_{-\pi }^{\pi }=\frac{2{\pi }^3}{3}$$

半角の公式 ${\sin }^{2}u=\frac{1-\cos (2u)}{2}$ を用いて

$$\begin{array}{rl}{\int }_{\pi }^{3\pi }{\sin }^{2}u\mathrm{d}u& ={\int }_{\pi }^{3\pi }\frac{1-\cos (2u)}{2}\mathrm{d}u\\ & ={\left[\frac{u}{2}-\frac{\sin (2u)}{4}\right]}_{\pi }^{3\pi }\\ & =\frac{3\pi }{2}-\frac{\pi }{2}=\pi \end{array}$$

これらを元の式に代入すると

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot \frac{2{\pi }^3}{3}\\ & =\frac{{\pi }^4}{3}\end{array}$$ $$\boxed{I=\frac{{\pi }^4}{3}}$$

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这道题主要考察了二重积分中的变量代换技巧。观察被积函数的结构可以发现存在 $x+y$ 和 $x-y$ 这样的项，同时积分区域是由四个点构成的正方形，连接这四个点的四条直线方程恰好都可以写成 $x+y=\text{常数}$ 和 $x-y=\text{常数}$ 的形式。这两个特征强烈暗示我们应该引入新的变量 $u=x+y$ 和 $v=x-y$ 进行坐标变换。引入新变量后需要计算雅可比行列式来得到面积微元的缩放比例，绝对值为二分之一。通过变换，原本倾斜的积分区域被拉直成了平行于坐标轴的矩形区域，这使得二重积分可以彻底拆分为关于 $u$ 和 $v$ 的两个独立单变量积分的乘积。计算过程中只需要利用基础的幂函数积分和三角函数降幂公式即可轻松求解，极大地简化了计算流程。