0448-1987 东大工 数学 WEB

常微分方程 非线性振动 椭圆积分

常微分方程式

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+\sin y=0,y(0)=0,\frac{\mathrm{d}y(0)}{\mathrm{d}x}=a$$

について以下の問に答えよ。ただし、$0<a<2$ とする。

(1) $x>0$ で初めて $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$ となるときの $x,y$ の値をそれぞれ $x_0,y_0$ とする。$y_0$ を求めよ。

(2) 上の常微分方程式の解は、第一種楕円積分 $F(k,\varphi )$ を用いて

$$x=F(k,\varphi (y))$$

の形で表される。$k$ および $\varphi (y)$ を求めよ。ただし、第一種楕円積分は

$$F(k,\varphi )={\int }_0^{\varphi }\frac{1}{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }}\mathrm{d}\theta$$

で定義されている。

(3) (1) の $x_0$ の値をやはり第一種楕円積分を用いて表せ。

(4) $a\ll 1$ のとき、$x_0$ の値は

$$x_0=c_0+c_1{a}^2+c_2{a}^4+\cdots =\sum _{j=0}^{\infty }{c}_j{a}^{2j}$$

と展開できる。ただし、$c_j(j=0,1,2,\cdots )$ は $a$ によらない定数である。第一種楕円積分を $k^2$ について展開した式を用いて、$c_0$ および $c_1$ を求めよ。

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解答：

(1)
与えられた微分方程式の両辺に $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ を掛けて積分する。

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\sin y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$$ $$\frac{1}{2}{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}^2-\cos y=C(C\text{ は積分定数})$$

初期条件 $y(0)=0,{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|}_{x=0}=a$ を代入すると、

$$\frac{1}{2}{a}^2-\cos (0)=C⟹C=\frac{a^2}{2}-1$$

したがって、方程式の第一積分は

$$\frac{1}{2}{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}^2=\cos y+\frac{a^2}{2}-1$$

半角の公式 $1-\cos y=2{\sin }^2\frac{y}{2}$ を用いて整理すると、

$${\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}^2=a^2-4{\sin }^2\frac{y}{2}$$

$x>0$ で初めて $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$ となるとき、$y=y_0$ であるから、

$$0=a^2-4{\sin }^2\frac{y_0}{2}$$

$y(0)=0$ かつ $\frac{\mathrm{d}y(0)}{\mathrm{d}x}=a>0$ より、$x$ の増加に伴い $y$ は正の方向に増加するため、$y_0>0$ となる。

$$\sin \frac{y_0}{2}=\frac{a}{2}$$

$0<a<2$ より、

$$\boxed{y_0=2\arcsin \left(\frac{a}{2}\right)}$$

(2)
$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}>0$ の範囲において、

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\sqrt{a^2-4{\sin }^2\frac{y}{2}}$$

変数分離して積分すると、

$$\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{a^2-4{\sin }^2\frac{y}{2}}}=\frac{\mathrm{d}y}{a\sqrt{1-{\left(\frac{2}{a}\sin \frac{y}{2}\right)}^2}}$$

ここで、$\sin \theta =\frac{2}{a}\sin \frac{y}{2}$ と変数変換する。両辺の微分を取ると、

$$\cos \theta \mathrm{d}\theta =\frac{1}{a}\cos \frac{y}{2}\mathrm{d}y$$ $$\mathrm{d}y=\frac{a\cos \theta }{\cos \frac{y}{2}}\mathrm{d}\theta$$

また、$\cos \frac{y}{2}=\sqrt{1-{\sin }^2\frac{y}{2}}=\sqrt{1-\frac{a^2}{4}{\sin }^2\theta }$ であるから、これを代入すると、

$$\mathrm{d}x=\frac{1}{a\cos \theta }\cdot \frac{a\cos \theta }{\sqrt{1-\frac{a^2}{4}{\sin }^2\theta }}\mathrm{d}\theta =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{a^2}{4}{\sin }^2\theta }}\mathrm{d}\theta$$

$x=0$ のとき $y=0$ ゆえ $\theta =0$ である。任意の $y$ まで積分すると、

$$x={\int }_0^{\arcsin \left(\frac{2}{a}\sin \frac{y}{2}\right)}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{a^2}{4}{\sin }^2\theta }}\mathrm{d}\theta$$

これと $x=F(k,\varphi (y))$ を比較して、

$$\boxed{\begin{array}{rl}k& =\frac{a}{2}\\ \varphi (y)& =\arcsin \left(\frac{2}{a}\sin \frac{y}{2}\right)\end{array}}$$

(3)
(1) より、$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$ となる点 $x_0$ において $y=y_0$ であり、$\sin \frac{y_0}{2}=\frac{a}{2}$ が成り立つ。
これを (2) で求めた $\varphi (y)$ に代入すると、

$$\varphi (y_0)=\arcsin \left(\frac{2}{a}\cdot \frac{a}{2}\right)=\arcsin (1)=\frac{\pi }{2}$$

したがって、$x_0$ は以下のようになる。

$$\boxed{x_0=F\left(\frac{a}{2},\frac{\pi }{2}\right)}$$

(4)
被積分関数 $(1-k^2{\sin }^2\theta {)}^{-1/2}$ を $k^2\ll 1$ のもとでテイラー展開する。

$$(1-k^2{\sin }^2\theta {)}^{-1/2}=1+\frac{1}{2}{k}^2{\sin }^2\theta +\frac{3}{8}{k}^4{\sin }^4\theta +\cdots$$

これを $x_0$ の積分に代入すると、

$$\begin{array}{rl}{x}_0& ={\int }_0^{\pi /2}\left(1+\frac{1}{2}{k}^2{\sin }^2\theta +\mathcal{O}(k^4)\right)\mathrm{d}\theta \\ & =\frac{\pi }{2}+\frac{1}{2}{k}^2{\int }_0^{\pi /2}{\sin }^2\theta \mathrm{d}\theta +\mathcal{O}(k^4)\end{array}$$

ここで ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^2\theta \mathrm{d}\theta =\frac{\pi }{4}$ であるため、

$$x_0=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{8}{k}^2+\mathcal{O}(k^4)$$

$k=\frac{a}{2}$ より $k^2=\frac{a^2}{4}$ を代入すると、

$$x_0=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{32}{a}^2+\mathcal{O}(a^4)$$

与えられた級数展開 $x_0=c_0+c_1{a}^2+\cdots$ と係数を比較して、

$$\boxed{\begin{array}{rl}{c}_0& =\frac{\pi }{2}\\ c_1& =\frac{\pi }{32}\end{array}}$$

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这道题考察的是常微分方程在非线性物理模型中的经典应用，其实际物理背景是单摆的非线性自由振动过程。题目通过能量守恒定律的数学表达，也就是求解微分方程的第一积分，巧妙地将二阶微分方程降阶。随后，为了求出精确的解析解，引入了由于存在正弦函数的非线性项而产生的椭圆积分。解答的难点在于第二问中恰当的变量代换，利用半角公式将振幅归一化后构造出第一类椭圆积分的标准形式。第四问则是物理中常见的小角度近似延伸，即当初始扰动很小时，通过对椭圆积分的被积函数在积分号内进行泰勒展开并逐项积分，就可以得到振动周期（或者如题中到达最大振幅的四分之一周期）关于振幅的摄动展开式，这一方法是研究非线性系统周期对振幅依赖性的标准处理手段。