0447-1987 东大工 数学 WEB

傅里叶与拉普拉斯变换 复变函数 积分变换

関数 $f(x)$ のフーリエ変換 $F(y)$ 及び、その逆変換を以下のように与える。

$$F(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ixy}\mathrm{d}x\iff f(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }F(-y)e^{-2\pi iyx}\mathrm{d}y$$

ただし、$i$ は虚数記号で、変数 $x,y$ などはすべて実数の範囲で考える。

(1) 指数関数とステップ関数 $h(x)=1(x>0),0(x<0)$ との積の形で定義される関数 $f(x)=e^{-2\pi |\alpha |x}h(x)$ のフーリエ変換 $F(y)$ を求めよ。ただし、$|\alpha |$ は定数 $\alpha (\alpha \ne 0)$ の絶対値を表す。

(2) 上記の逆変換を考えることによって、関数 $g(x)=\frac{1}{x-i\alpha }$ のフーリエ変換 $G(y)$ を求めよ。

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解答：

(1)
与えられた定義式より、フーリエ変換 $F(y)$ は

$$\begin{array}{rl}F(y)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi |\alpha |x}h(x)e^{-2\pi ixy}\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^{\infty }{e}^{-2\pi (|\alpha |+iy)x}\mathrm{d}x\\ & ={\left[\frac{e^{-2\pi (|\alpha |+iy)x}}{-2\pi (|\alpha |+iy)}\right]}_0^{\infty }\end{array}$$

$|\alpha |>0$ であるため、実部について $\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{-2\pi |\alpha |x}=0$ となり、

$$\boxed{F(y)=\frac{1}{2\pi (|\alpha |+iy)}}$$

(2)
逆変換の定義により、

$$f(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }F(-y)e^{-2\pi iyx}\mathrm{d}y$$

(1)の結果を代入すると、

$$e^{-2\pi |\alpha |x}h(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{2\pi (|\alpha |-iy)}{e}^{-2\pi iyx}\mathrm{d}y$$

積分変数 $y$ と変数 $x$ を入れ替えると、

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{2\pi (|\alpha |-ix)}{e}^{-2\pi ixy}\mathrm{d}x=e^{-2\pi |\alpha |y}h(y)$$

すなわち、

$$\mathcal{F}\left\{\frac{1}{|\alpha |-ix}\right\}=2\pi e^{-2\pi |\alpha |y}h(y)$$

$\frac{1}{|\alpha |-ix}=\frac{i}{x+i|\alpha |}$ より、

$$\mathcal{F}\left\{\frac{1}{x+i|\alpha |}\right\}=-2\pi i{e}^{-2\pi |\alpha |y}h(y)\cdots (A)$$

一方、先ほどの逆変換の式において $x$ を $-x$ とすると、

$$e^{2\pi |\alpha |x}h(-x)={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{2\pi (|\alpha |-iy)}{e}^{2\pi iyx}\mathrm{d}y$$

右辺の積分変数を $y\to -y$ と変換すると、

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{2\pi (|\alpha |+iy)}{e}^{-2\pi iyx}\mathrm{d}y=e^{2\pi |\alpha |x}h(-x)$$

同様に $x$ と $y$ を入れ替えると、

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{2\pi (|\alpha |+ix)}{e}^{-2\pi ixy}\mathrm{d}x=e^{2\pi |\alpha |y}h(-y)$$

$\frac{1}{|\alpha |+ix}=\frac{-i}{x-i|\alpha |}$ より、

$$\mathcal{F}\left\{\frac{1}{x-i|\alpha |}\right\}=2\pi i{e}^{2\pi |\alpha |y}h(-y)\cdots (B)$$

関数 $g(x)=\frac{1}{x-i\alpha }$ について、$\alpha$ の符号により場合分けを行う。

(i) $\alpha >0$ のとき、$-\alpha =-|\alpha |$ となる。
式(B)より、

$$G(y)=\mathcal{F}\left\{\frac{1}{x-i\alpha }\right\}=2\pi i{e}^{2\pi \alpha y}h(-y)$$

(ii) $\alpha <0$ のとき、$-\alpha =|\alpha |$ となる。
$g(x)=\frac{1}{x+i|\alpha |}$ となり、式(A)より、

$$G(y)=\mathcal{F}\left\{\frac{1}{x+i|\alpha |}\right\}=-2\pi i{e}^{2\pi \alpha y}h(y)$$

以上をまとめて、

$$\boxed{G(y)=\{\begin{array}{ll}2\pi i{e}^{2\pi \alpha y}h(-y)& (\alpha >0)\\ -2\pi i{e}^{2\pi \alpha y}h(y)& (\alpha <0)\end{array}}$$

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这道题主要考察了傅里叶变换及其逆变换的对称性与积分计算。第一问是非常基础的积分操作，由于存在阶跃函数，积分下限从负无穷变为零，将复指数与实指数合并后直接积分即可，利用指数函数的衰减性可以轻松算出结果。第二问的精妙之处在于它避免了利用复变函数留数定理去计算复杂的有理函数反常积分，而是利用题干给出的傅里叶逆变换公式，通过字母替换和变量对称性进行代数推导。由于待求函数中参数涉及虚数，并且绝对值的去掉依赖于符号，因此需要根据参数的正负号分别讨论。通过对逆变换积分式中的变量进行取反替换，可以分别推导出对应共轭形式的傅里叶变换结果。在整个化简中始终紧扣逆变换式子的形式，最终巧妙地得到了包含阶跃函数的频域表达式，这种利用对偶性求解傅里叶变换的方法在处理分式函数时非常高效且不易出错。