0446-1987 东大工 数学 WEB

线性代数 特征值与特征向量 矩阵多项式 矩阵指数

二次正方行列 $A$ の固有値を ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ (ただし、${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$)、対応する固有ベクトルを ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2$ とする。

(1) 任意の二次元ベクトル $\mathbf{x}$ を、${\mathbf{e}}_1$ と ${\mathbf{e}}_2$ の各方向への成分和として記述せよ。($\mathbf{x}={\mathbf{x}}_1+{\mathbf{x}}_2$ と分解せよ。)

(2) 行列 $A$ の多項式 $f(A)=a_{0}I+a_{1}A+a_2{A}^2+\cdots$ (ただし、$I$ は単位行列)に対し、$f(A)\cdot \mathbf{x}=f({\lambda }_1)\cdot {\mathbf{x}}_1+f({\lambda }_2)\cdot {\mathbf{x}}_2$ となることを示せ。

(3) 上記の設問 (1) と (2) を基に、$f(A)$ を求める方法を示し、$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ のとき、指数関数 $e^{tA}$ (ただし、$t$ は実変数)に対し実行せよ。

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解答：

(1)
${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ より、固有ベクトル ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2$ は一次独立であり、二次元空間の基底をなす。
任意の実数 $c_1,c_2$ を用いて、任意のベクトル $\mathbf{x}$ は次のように記述できる。

$$\boxed{\mathbf{x}=c_1{\mathbf{e}}_1+c_2{\mathbf{e}}_2(\text{ただし、}{\mathbf{x}}_1=c_1{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{x}}_2=c_2{\mathbf{e}}_2)}$$

(2)
${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2$ は $A$ の固有ベクトルであるため、任意の非負整数 $k$ に対して $A^k{\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}={\lambda }_i^k{\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}(i=1,2)$ が成り立つ。
したがって、多項式 $f(A)$ を作用させると $f(A){\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}=f({\lambda }_i){\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}$ となる。
(1)の分解を用いて $f(A)\mathbf{x}$ を計算する。

$$\begin{array}{rl}f(A)\mathbf{x}& =f(A)({\mathbf{x}}_1+{\mathbf{x}}_2)\\ & =f(A)(c_1{\mathbf{e}}_1)+f(A)(c_2{\mathbf{e}}_2)\\ & =c_{1}f(A){\mathbf{e}}_1+c_{2}f(A){\mathbf{e}}_2\\ & =c_{1}f({\lambda }_1){\mathbf{e}}_1+c_{2}f({\lambda }_2){\mathbf{e}}_2\\ & =f({\lambda }_1)(c_1{\mathbf{e}}_1)+f({\lambda }_2)(c_2{\mathbf{e}}_2)\\ & =f({\lambda }_1){\mathbf{x}}_1+f({\lambda }_2){\mathbf{x}}_2\end{array}$$

(証明終)

(3)
$\mathbf{x}={\mathbf{x}}_1+{\mathbf{x}}_2$ の両辺に $A$ を掛けると、$A\mathbf{x}={\lambda }_1{\mathbf{x}}_1+{\lambda }_2{\mathbf{x}}_2$ を得る。
これら二つの式から ${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2$ について解くと、

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{x}}_1& =\frac{A-{\lambda }_{2}I}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}\mathbf{x}\\ {\mathbf{x}}_2& =\frac{A-{\lambda }_{1}I}{{\lambda }_2-{\lambda }_1}\mathbf{x}\end{array}$$

設問(2)の結果に代入すると、

$$f(A)\mathbf{x}=\left(f({\lambda }_1)\frac{A-{\lambda }_{2}I}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}+f({\lambda }_2)\frac{A-{\lambda }_{1}I}{{\lambda }_2-{\lambda }_1}\right)\mathbf{x}$$

これが任意の $\mathbf{x}$ について成り立つため、$f(A)$ を求める方法は以下の式で与えられる。

$$\boxed{f(A)=f({\lambda }_1)\frac{A-{\lambda }_{2}I}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}+f({\lambda }_2)\frac{A-{\lambda }_{1}I}{{\lambda }_2-{\lambda }_1}}$$

$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ のとき、固有方程式 $\det (A-\lambda I)={\lambda }^2-1=0$ より、固有値は ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=-1$ である。
$f(A)=e^{tA}$ とすると、$f({\lambda }_1)=e^t,f({\lambda }_2)=e^{-t}$ となる。求めた $f(A)$ の式に代入すると、

$$\begin{array}{rl}{e}^{tA}& =e^t\frac{A-(-I)}{1-(-1)}+e^{-t}\frac{A-I}{-1-1}\\ & =\frac{e^t}{2}(A+I)-\frac{e^{-t}}{2}(A-I)\\ & =\frac{e^t-e^{-t}}{2}A+\frac{e^t+e^{-t}}{2}I\end{array}$$

行列 $A,I$ を代入して計算すると、

$$\begin{array}{rl}{e}^{tA}& =\frac{e^t-e^{-t}}{2}\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)+\frac{e^t+e^{-t}}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}\frac{e^t+e^{-t}}{2}& \frac{e^t-e^{-t}}{2}\\ \frac{e^t-e^{-t}}{2}& \frac{e^t+e^{-t}}{2}\end{array}\right)\end{array}$$ $$\boxed{e^{tA}=\left(\begin{array}{cc}\frac{e^t+e^{-t}}{2}& \frac{e^t-e^{-t}}{2}\\ \frac{e^t-e^{-t}}{2}& \frac{e^t+e^{-t}}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cosh t& \sinh t\\ \sinh t& \cosh t\end{array}\right)}$$

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这道题利用引导式的问题设置，巧妙地展示了如何利用特征值和特征向量来计算矩阵的函数。对于拥有相异特征值的矩阵，其特征向量能够构成空间的一组完备基。因此，空间中的任何向量都可以被拆解为沿特征向量方向的各个分量。由于矩阵作用在特征向量上等价于标量乘法，矩阵的多项式甚至指数函数作用在向量上，就自然简化为了对特征值求对应函数的标量运算。通过联立恒等分解式和特征方程，可以逆向用原矩阵表示出各个方向的投影矩阵，从而得到矩阵函数的显式表达式。这种基于谱分解的思想被称为西尔维斯特多项式或者西尔维斯特公式，它避免了直接对矩阵求高次幂的繁琐过程，极大地简化了矩阵指数以及其他高级矩阵运算的求解，在系统动力学与现代控制理论的常微分方程组求解中具有核心地位。