0445-1987 东大工 数学 WEB

复变函数 柯西积分公式

$f(z)$ を、$\infty$ を含まない単連結領域 $\mathbf{D}$ において正則な関数とするとき、原点を正の向きに一周する単一な積分路 $\mathrm{C}$ に対して、

$${\frac{{\mathrm{d}}^{n}f(z)}{\mathrm{d}{z}^n}|}_{z=0}=\frac{n!}{2\pi i}{\int }_{\mathrm{C}}\frac{f(\zeta )}{{\zeta }^{n+1}}\mathrm{d}\zeta (n:0\text{ または正の整数})$$

が成立する。このとき、次の問に答えよ。

(1) $\frac{1}{(n!{)}^2}=\frac{-1}{2\pi }{\int }_{\mathrm{C}}{\left(\frac{i}{\zeta }\right)}^{n+1}\frac{e^{-i\zeta }}{n!}\mathrm{d}\zeta$ を説明せよ。ただし、$i=\sqrt{-1}$

(2) $\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{(n!{)}^2}=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{e}^{2\sin \theta }\mathrm{d}\theta$ を導け。

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解答：

(1)
$f(z)=e^{-iz}$ とおくと、$f(z)$ は全平面で正則な関数である。
$f(z)$ の $n$ 階導関数は

$$\frac{{\mathrm{d}}^{n}f(z)}{\mathrm{d}{z}^n}=(-i{)}^n{e}^{-iz}$$

$z=0$ のとき、

$${\frac{{\mathrm{d}}^{n}f(z)}{\mathrm{d}{z}^n}|}_{z=0}=(-i{)}^n$$

これをコーシーの積分公式に代入すると、

$$(-i{)}^n=\frac{n!}{2\pi i}{\int }_{\mathrm{C}}\frac{e^{-i\zeta }}{{\zeta }^{n+1}}\mathrm{d}\zeta$$

両辺に $\frac{i^n}{(n!{)}^2}$ を掛けると、

$$\begin{array}{rl}\frac{(-i{)}^n{i}^n}{(n!{)}^2}& =\frac{i^n}{n!2\pi i}{\int }_{\mathrm{C}}\frac{e^{-i\zeta }}{{\zeta }^{n+1}}\mathrm{d}\zeta \\ \frac{1}{(n!{)}^2}& =\frac{-i^{n+1}}{2\pi n!}{\int }_{\mathrm{C}}\frac{e^{-i\zeta }}{{\zeta }^{n+1}}\mathrm{d}\zeta \\ \frac{1}{(n!{)}^2}& =\frac{-1}{2\pi }{\int }_{\mathrm{C}}{\left(\frac{i}{\zeta }\right)}^{n+1}\frac{e^{-i\zeta }}{n!}\mathrm{d}\zeta \end{array}$$

(証明終)

(2)
(1) の結果について $n=0$ から $\infty$ までの和をとると、

$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{(n!{)}^2}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{-1}{2\pi }{\int }_{\mathrm{C}}{\left(\frac{i}{\zeta }\right)}^{n+1}\frac{e^{-i\zeta }}{n!}\mathrm{d}\zeta$$

和と積分の順序を交換すると、

$$\begin{array}{rl}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{(n!{)}^2}& =\frac{-1}{2\pi }{\int }_{\mathrm{C}}\frac{i}{\zeta }{e}^{-i\zeta }\left(\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}{\left(\frac{i}{\zeta }\right)}^n\right)\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{-1}{2\pi }{\int }_{\mathrm{C}}\frac{i}{\zeta }{e}^{-i\zeta }{e}^{i/\zeta }\mathrm{d}\zeta \end{array}$$

積分路 $\mathrm{C}$ は原点を一周する任意の単一閉曲線であるため、単位円 $|\zeta |=1$ を選ぶ。
$\zeta =e^{i\theta }(0\le \theta <2\pi )$ とおくと、$\mathrm{d}\zeta =i{e}^{i\theta }\mathrm{d}\theta =i\zeta \mathrm{d}\theta$ であるから、

$$\frac{\mathrm{d}\zeta }{\zeta }=i\mathrm{d}\theta$$

これを積分に代入すると、

$$\begin{array}{rl}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{(n!{)}^2}& =\frac{-1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }i{e}^{-i{e}^{i\theta }}{e}^{i{e}^{-i\theta }}i\mathrm{d}\theta \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{e}^{-i(\cos \theta +i\sin \theta )+i(\cos \theta -i\sin \theta )}\mathrm{d}\theta \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{e}^{-i\cos \theta +\sin \theta +i\cos \theta +\sin \theta }\mathrm{d}\theta \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{e}^{2\sin \theta }\mathrm{d}\theta \end{array}$$

(証明終)

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这道题主要考查了复变函数中柯西积分公式的高阶导数形式，以及级数求和与积分互换的计算技巧。在第一问中，通过观察目标等式的形式，逆向构造出被积函数表达式 $e^{-iz}$，接着计算其在原点处的 $n$ 阶导数值，并带回积分公式两边同乘常数因子即可完成变形。第二问则是复变函数积分的典型应用，首先提取出与 $n$ 无关的项，将原级数还原为指数函数 $e^{i/\zeta }$ 的泰勒展开形式从而在积分号内求和，随后利用路径无关性选取最便于计算的单位圆作为积分路，结合欧拉公式进行参数化换元，化简虚部后自然就得出了所求的实积分形式。这也体现了复积分在求解某些特殊实积分及级数问题中的桥梁作用。