0444-1987 东大工 数学 WEB

概率统计 泊松点过程 空间分布

平面内に平均面密度 $n$ で点が分布している場合、面積 $a$ の図形内に $x$ 個の点が存在する確率 $P(x)$ は、

$$P(x)=\frac{(an{)}^x}{x!}{e}^{-an}$$

で表される。このとき、次の問に答えよ。

(1) 任意の点から最も近い点に至るまでの平均距離 $r_1$ を求めよ。

(2) 任意の点から2番目に近い点に至るまでの平均距離 $r_2$ を求めよ。

(3) 任意の点から $m$ 番目 ($m$: 正の整数) に近い点に至るまでの平均距離 $r_m$ を求めよ。
ただし、

$${\int }_0^{\infty }{e}^{-s^2}\mathrm{d}s=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$$

である。

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解答：

(1)
任意の点から距離 $r$ の円（面積 $a=\pi r^2$）内に点が存在しない確率は

$$P(0)=e^{-n\pi r^2}$$

最も近い点までの距離 $R_1$ の累積分布関数 $F_1(r)$ 及び確率密度関数 $f_1(r)$ は

$$F_1(r)=1-P(0)=1-e^{-n\pi r^2}$$ $$f_1(r)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}{F}_1(r)=2\pi nr{e}^{-n\pi r^2}$$

平均距離 $r_1$ は

$$r_1={\int }_0^{\infty }r{f}_1(r)\mathrm{d}r={\int }_0^{\infty }2\pi n{r}^2{e}^{-n\pi r^2}\mathrm{d}r$$

$s=\sqrt{n\pi }r$ と置換すると

$$r_1=\frac{2}{\sqrt{n\pi }}{\int }_0^{\infty }{s}^2{e}^{-s^2}\mathrm{d}s$$

部分積分を用いると

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\infty }{s}^2{e}^{-s^2}\mathrm{d}s& ={\left[-\frac{1}{2}s{e}^{-s^2}\right]}_0^{\infty }+\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }{e}^{-s^2}\mathrm{d}s\\ & =\frac{\sqrt{\pi }}{4}\end{array}$$

よって

$$\boxed{r_1=\frac{1}{2\sqrt{n}}}$$

(2)
距離 $R_2$ の累積分布関数 $F_2(r)$ は半径 $r$ の円内に点が1個以下である確率を用いて

$$F_2(r)=1-(P(0)+P(1))=1-(1+n\pi r^2)e^{-n\pi r^2}$$

確率密度関数 $f_2(r)$ は

$$f_2(r)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}{F}_2(r)=2{\pi }^2{n}^2{r}^3{e}^{-n\pi r^2}$$

平均距離 $r_2$ は

$$r_2={\int }_0^{\infty }r{f}_2(r)\mathrm{d}r={\int }_0^{\infty }2{\pi }^2{n}^2{r}^4{e}^{-n\pi r^2}\mathrm{d}r$$

$s=\sqrt{n\pi }r$ と置換すると

$$r_2=\frac{2}{\sqrt{n\pi }}{\int }_0^{\infty }{s}^4{e}^{-s^2}\mathrm{d}s$$

部分積分を用いると

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\infty }{s}^4{e}^{-s^2}\mathrm{d}s& ={\left[-\frac{1}{2}{s}^3{e}^{-s^2}\right]}_0^{\infty }+\frac{3}{2}{\int }_0^{\infty }{s}^2{e}^{-s^2}\mathrm{d}s\\ & =\frac{3}{2}\cdot \frac{\sqrt{\pi }}{4}=\frac{3\sqrt{\pi }}{8}\end{array}$$

よって

$$\boxed{r_2=\frac{3}{4\sqrt{n}}}$$

(3)
任意の点から距離 $r$ までの円内にちょうど $m-1$ 個の点が存在し、かつ距離 $r$ と $r+\mathrm{d}r$ の微小円環内に次の点が存在する確率は

$$f_m(r)\mathrm{d}r=P(m-1)\cdot 2\pi nr\mathrm{d}r=\frac{(n\pi r^2{)}^{m-1}}{(m-1)!}{e}^{-n\pi r^2}\cdot 2\pi nr\mathrm{d}r$$

確率密度関数 $f_m(r)$ は

$$f_m(r)=\frac{2(n\pi {)}^m}{(m-1)!}{r}^{2m-1}{e}^{-n\pi r^2}$$

平均距離 $r_m$ は

$$r_m={\int }_0^{\infty }r{f}_m(r)\mathrm{d}r={\int }_0^{\infty }\frac{2(n\pi {)}^m}{(m-1)!}{r}^{2m}{e}^{-n\pi r^2}\mathrm{d}r$$

$s=\sqrt{n\pi }r$ と置換すると

$$r_m=\frac{2}{\sqrt{n\pi }(m-1)!}{\int }_0^{\infty }{s}^{2m}{e}^{-s^2}\mathrm{d}s$$

$I_m={\int }_0^{\infty }{s}^{2m}{e}^{-s^2}\mathrm{d}s$ とおき、部分積分を繰り返すと

$$\begin{array}{rl}{I}_m& ={\left[-\frac{1}{2}{s}^{2m-1}{e}^{-s^2}\right]}_0^{\infty }+\frac{2m-1}{2}{\int }_0^{\infty }{s}^{2m-2}{e}^{-s^2}\mathrm{d}s\\ & =\frac{2m-1}{2}{I}_{m-1}\end{array}$$

$I_0=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$ であるから

$$I_m=\frac{(2m-1)!!}{2^m}\frac{\sqrt{\pi }}{2}$$

よって

$$\begin{array}{rl}{r}_m& =\frac{2}{\sqrt{n\pi }(m-1)!}\frac{(2m-1)!!}{2^{m+1}}\sqrt{\pi }\\ & =\frac{(2m-1)!!}{2^m(m-1)!\sqrt{n}}\end{array}$$ $$\boxed{r_m=\frac{(2m-1)!!}{2^m(m-1)!\sqrt{n}}}$$

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这道题考查了二维空间中泊松点过程的应用，核心在于构建第 $m$ 近邻点距离的概率密度函数。通过考虑半径为 $r$ 的圆内恰好有 $m-1$ 个点，且在其外侧极薄圆环内恰好有1个点的概率，可以巧妙地写出距离的概率密度分布。在计算期望距离的积分时，利用变量代换将积分转化为形如高斯积分的高阶矩形式，随后通过连续使用分部积分法得出关于阶乘与双阶乘的递推关系，从而得到最终的通项公式。这种解法在处理几何概率和空间点过程模型的数学期望问题时非常普遍。