0443-1986 东大工 数学 WEB

概率统计 几何概率 连续型随机变量

中心を O とする半径 $R$ の円内に、全くでたらめに 2 点 P および Q をとる。
このとき、次の問に答えよ。

(1) OP 間の距離を $a$ とするとき、$a$ および $a^2$ の確率密度関数を求めよ。

(2) 三角形 OPQ の面積の期待値を求めよ。

(3) 次に、点 P は固定したままとし、点 Q を、距離 $\overline{\text{OQ}}$ は一定に保ったまま O の回りに回転させて $\angle \text{POQ}=\frac{\pi }{2}$ となる位置まで移動させた。このとき、移動後の PQ 間に距離 $d$ の確率密度関数を求めよ。

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解答：

(1)
点Pは半径 $R$ の円内に一様分布するため、点Pが原点Oから距離 $a$ 以下の領域（半径 $a$ の円内）に含まれる確率 $P(\text{OP}\le a)$ は面積比で与えられる。

$$P(\text{OP}\le a)=\frac{\pi a^2}{\pi R^2}=\frac{a^2}{R^2}(0\le a\le R)$$

$a$ の確率密度関数 $f(a)$ は、累積分布関数を $a$ で微分して得られる。

$$f(a)=\frac{d}{da}\left(\frac{a^2}{R^2}\right)=\frac{2a}{R^2}(0\le a\le R)$$

次に、$y=a^2$ とおく。$y$ の累積分布関数は

$$P(a^2\le y)=P(a\le \sqrt{y})=\frac{(\sqrt{y}{)}^2}{R^2}=\frac{y}{R^2}(0\le y\le R^2)$$

$a^2$ の確率密度関数 $g(y)$ は、これを $y$ で微分して得られる。

$$\boxed{\begin{array}{rl}a\text{ の確率密度関数}& :\frac{2a}{R^2}(0\le a\le R)\\ a^2\text{ の確率密度関数}& :\frac{1}{R^2}(0\le a^2\le R^2)\end{array}}$$

（上記範囲外ではともに $0$ となる）

(2)
点P, Qの極座標をそれぞれ $(r_1,{\theta }_1),(r_2,{\theta }_2)$ とおく。三角形OPQの面積 $S$ は次式で表される。

$$S=\frac{1}{2}{r}_1{r}_2\sin |{\theta }_1-{\theta }_2|$$

PとQは独立に一様分布するため、$r_1,r_2,{\theta }_1,{\theta }_2$ は互いに独立である。
(1)より、動径の周辺確率密度関数は $f(r)=\frac{2r}{R^2}(0\le r\le R)$ であり、偏角の周辺確率密度関数は一様分布より $\frac{1}{2\pi }(0\le \theta <2\pi )$ である。
期待値の線形性と独立性より、

$$E[S]=\frac{1}{2}E[r_1]E[r_2]E[\sin |{\theta }_1-{\theta }_2|]$$

動径の期待値は、

$$E[r_1]=E[r_2]={\int }_0^{R}r\cdot \frac{2r}{R^2}dr=\frac{2}{R^2}{\left[\frac{r^3}{3}\right]}_0^R=\frac{2}{3}R$$

${\theta }_1,{\theta }_2$ が互いに独立に $[0,2\pi )$ で一様分布するとき、角度の差による正弦の絶対値の期待値は、対称性により一方の角度を $0$ と固定した場合の $|\sin \theta |$ の期待値に等しい。

$$E[\sin |{\theta }_1-{\theta }_2|]=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }|\sin \theta |d\theta =\frac{4}{2\pi }{\int }_0^{\pi /2}\sin \theta d\theta =\frac{2}{\pi }[-\cos \theta {]}_0^{\pi /2}=\frac{2}{\pi }$$

したがって、面積の期待値は、

$$E[S]=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}R\right)\left(\frac{2}{3}R\right)\left(\frac{2}{\pi }\right)=\frac{4R^2}{9\pi }$$ $$\boxed{E[S]=\frac{4R^2}{9\pi }}$$

(3)
移動後、$\angle \text{POQ}=\frac{\pi }{2}$ であるため、直角三角形において三平方の定理より $d^2={\text{OP}}^2+{\text{OQ}}^2=r_1^2+r_2^2$ が成り立つ。
$X=r_1^2,Y=r_2^2$ とおくと、(1)より $X,Y$ はともに区間 $[0,R^2]$ の一様分布に従う独立な確率変数である（確率密度は $\frac{1}{R^2}$）。
$Z=d^2=X+Y$ とおく。独立な一様分布の和であるため、$Z$ の確率密度関数 $h(z)$ は畳み込み積分により求められる三角分布となる。

$$h(z)=\{\begin{array}{ll}{\int }_0^z\frac{1}{R^2}\cdot \frac{1}{R^2}dx=\frac{z}{R^4}& (0\le z\le R^2)\\ {\int }_{z-R^2}^{R^2}\frac{1}{R^2}\cdot \frac{1}{R^2}dx=\frac{2R^2-z}{R^4}& (R^2\le z\le 2R^2)\\ 0& (\text{上記以外})\end{array}$$

求める確率密度関数を $p(d)$ とする。$Z=d^2$ であるから、変数変換の公式 $p(d)=h(d^2)\left|\frac{dz}{dd}\right|=h(d^2)\cdot 2d$ を用いる。
$0\le d^2\le R^2$ は $0\le d\le R$ に対応し、$R^2\le d^2\le 2R^2$ は $R\le d\le \sqrt{2}R$ に対応するため、

$$\boxed{\begin{array}{r}p(d)=\{\begin{array}{ll}\frac{2d^3}{R^4}& (0\le d\le R)\\ \frac{4R^{2}d-2d^3}{R^4}& (R<d\le \sqrt{2}R)\\ 0& (\text{上記以外})\end{array}\end{array}}$$

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本题是一道非常经典的几何概率与连续型随机变量运算相结合的综合题。第一问要求基于几何概率面积比定义推导出点到圆心距离的累积分布函数，进而求导得到概率密度函数，之后利用随机变量函数的变换法则求出距离平方的密度，这里巧妙地发现距离平方服从均匀分布，为后续计算大幅简化了难度。第二问考查了多维随机变量独立性的应用，三角形面积可由两边及夹角正弦值表示，由于两点独立均匀分布，所以其极径与极角都是相互独立的，直接利用期望的乘法性质分别求极径期望和夹角正弦绝对值的期望即可得到答案。第三问实质上是求两个独立同分布的均匀分布随机变量之和的概率分布，其平方和的密度函数可通过卷积公式得出标准的三角分布，最后再次运用一次单调函数变量代换公式，将平方和的概率密度还原为距离本身的概率密度，完成解答。