0441-1986 东大工 数学 WEB

复变函数 留数定理 围道积分

(1) $z$ を複素数とするとき、$\frac{1}{e^z-1}$ の極およびその留数を求めよ。

(2) $\eta$ を 1 より小さい正の実数、${\omega }_n=2n\pi (n:\text{整数})$ とするとき、

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{e^{i{\omega }_n\eta }}{i{\omega }_n-x}=\frac{1}{2\pi i}{\int }_C\frac{e^{\eta z}}{(z-x)(e^z-1)}dz\cdots (\text{o})$$

であることを証明せよ。ただし、$x$ は正の実数、$i=\sqrt{-1}$、積分路 C は下図に示す通りである。

(3) 式 (o) の関係を使い、次式を証明せよ。

$$\underset{\eta \to 0}{\lim }\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{e^{i{\omega }_n\eta }}{i{\omega }_n-x}=\frac{1}{1-e^x}$$

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解答：

(1)
$f(z)=\frac{1}{e^z-1}$ とする。
極は分母が $0$ になる点であるから、

$$e^z-1=0⟹e^z=1⟹z=2n\pi i(n\text{は整数})$$

これらは全て1位の極である。
$z=2n\pi i$ における留数は、ロピタルの定理を用いて計算すると、

$$\underset{z\to 2n\pi i}{\lim }(z-2n\pi i)\frac{1}{e^z-1}=\underset{z\to 2n\pi i}{\lim }\frac{1}{(e^z-1{)}^{\prime }}=\underset{z\to 2n\pi i}{\lim }\frac{1}{e^z}=1$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}\text{極：}& z=2n\pi i(n\text{は整数})\\ \text{留数：}& 1\end{array}}$$

(2)
図より積分路 $C$ は虚軸に沿って左側を下向きに、右側を上向きに進む経路であり、虚軸上の極を反時計回りに囲む閉曲線とみなせる。$x$ は正の実数であるため、積分路 $C$ の外部にある。
被積分関数を $F(z)=\frac{e^{\eta z}}{(z-x)(e^z-1)}$ とおく。
$C$ の内部にある $F(z)$ の特異点は、$z=2n\pi i=i{\omega }_n$ のみである。
留数定理より、

$$\frac{1}{2\pi i}{\int }_{C}F(z)dz=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\text{Res}(F(z),i{\omega }_n)$$

各極 $z=i{\omega }_n$ における $F(z)$ の留数を計算する。

$$\text{Res}(F(z),i{\omega }_n)=\underset{z\to i{\omega }_n}{\lim }(z-i{\omega }_n)\frac{e^{\eta z}}{(z-x)(e^z-1)}=\frac{e^{i{\omega }_n\eta }}{i{\omega }_n-x}\underset{z\to i{\omega }_n}{\lim }\frac{z-i{\omega }_n}{e^z-1}$$

(1) の結果より極 $z=i{\omega }_n$ での $\frac{1}{e^z-1}$ の留数は $1$ であるから、

$$\text{Res}(F(z),i{\omega }_n)=\frac{e^{i{\omega }_n\eta }}{i{\omega }_n-x}\cdot 1=\frac{e^{i{\omega }_n\eta }}{i{\omega }_n-x}$$

これを留数定理の式に代入すると、

$$\frac{1}{2\pi i}{\int }_C\frac{e^{\eta z}}{(z-x)(e^z-1)}dz=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{e^{i{\omega }_n\eta }}{i{\omega }_n-x}$$

となり、式 (o) が示された。(証明終)

(3)
複素平面全体を含む半径 $R$ の大きな円周を積分路 ${\Gamma }_R$ とする（ただし $R$ は極を避けるように大きくする）。
$0<\eta <1$ であるため、$|z|\to \infty$ において被積分関数 $F(z)$ の絶対値は速やかに減少する。
具体的には、$\text{Re}(z)>0$ では $F(z)\sim \frac{e^{(\eta -1)z}}{z}\to 0$ （$\eta <1$ より）、$\text{Re}(z)<0$ では $F(z)\sim \frac{e^{\eta z}}{-z}\to 0$ （$\eta >0$ より）となり、${\Gamma }_R$ 上での積分は $R\to \infty$ で $0$ に収束する。
したがって、全平面における留数の和は $0$ に等しい。全平面にある $F(z)$ の極は $z=i{\omega }_n$ と $z=x$ であるから、

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\text{Res}(F(z),i{\omega }_n)+\text{Res}(F(z),x)=0$$

(2) の結果より、

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{e^{i{\omega }_n\eta }}{i{\omega }_n-x}=-\text{Res}(F(z),x)$$

$z=x$ における留数を求める。$z=x$ は1位の極であるから、

$$\text{Res}(F(z),x)=\underset{z\to x}{\lim }(z-x)\frac{e^{\eta z}}{(z-x)(e^z-1)}=\frac{e^{\eta x}}{e^x-1}$$

したがって、

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{e^{i{\omega }_n\eta }}{i{\omega }_n-x}=-\frac{e^{\eta x}}{e^x-1}=\frac{e^{\eta x}}{1-e^x}$$

両辺で $\eta \to 0$ の極限をとると、

$$\underset{\eta \to 0}{\lim }\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{e^{i{\omega }_n\eta }}{i{\omega }_n-x}=\underset{\eta \to 0}{\lim }\frac{e^{\eta x}}{1-e^x}=\frac{e^0}{1-e^x}=\frac{1}{1-e^x}$$

となり、題意の式が証明された。(証明終)

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本题考察了复变函数中留数定理的经典应用，特别是物理学中常见的松原频率求和（Matsubara Summation）技巧。第一问要求找出函数的单极点并计算留数，这是应用留数定理的基础。第二问通过构造一个逆时针紧密包裹虚轴上所有极点的围道 $C$，直接利用留数定理将无穷级数转化为围道积分。第三问是解题的核心精华（围道变形法），由于参数 $\eta$ 满足 $0<\eta <1$，被积函数在无穷远处指数衰减，因此在无穷大圆周上的积分为零。这意味着整个复平面上所有极点的留数之和必定为零。我们将虚轴上的留数和（即所求的无穷级数）与实轴上 $z=x$ 处的留数联系起来，从而避开了直接对复数序列进行复杂的求和计算。计算出 $z=x$ 处的留数并取 $\eta \to 0$ 的极限后，即可以极其优雅的方式得出级数的收敛结果。