0440-1986 东大工 数学 WEB

微分积分 反常积分 含参变量积分

(1) 極座標を利用して ${\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\infty }{e}^{-a(x^2+y^2)}dxdy$ を計算せよ。ただし、$a>0$ とする。

(2) $f(a)={\int }_0^{\infty }{e}^{-a{x}^2}dx$ であるとき、$f(1),f^{\prime }(1)$ の値を求めよ。

(3) ${\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2}{x}^{2n}dx$ の値を求めよ。但し、$n$ は正の整数とする。

---

解答：

(1)
積分領域 $D=\{(x,y)\mid x\ge 0,y\ge 0\}$ は、極座標変換 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ により、$E=\{(r,\theta )\mid r\ge 0,0\le \theta \le \frac{\pi }{2}\}$ に移される。この変換のヤコビアンは $r$ である。

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\infty }{e}^{-a(x^2+y^2)}dxdy& ={\iint }_D{e}^{-a(x^2+y^2)}dxdy\\ & ={\iint }_E{e}^{-a{r}^2}rdrd\theta \\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}d\theta {\int }_0^{\infty }r{e}^{-a{r}^2}dr\\ & =[\theta {]}_0^{\frac{\pi }{2}}{\left[-\frac{1}{2a}{e}^{-a{r}^2}\right]}_0^{\infty }\\ & =\frac{\pi }{2}\left(0-\left(-\frac{1}{2a}\right)\right)\\ & =\frac{\pi }{4a}\end{array}$$ $$\boxed{{\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\infty }{e}^{-a(x^2+y^2)}dxdy=\frac{\pi }{4a}}$$

(2)
(1) の結果を利用する。被積分関数が正であるため、フビニの定理より以下が成り立つ。

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\infty }{e}^{-a(x^2+y^2)}dxdy& =\left({\int }_0^{\infty }{e}^{-a{x}^2}dx\right)\left({\int }_0^{\infty }{e}^{-a{y}^2}dy\right)\\ & ={\left({\int }_0^{\infty }{e}^{-a{x}^2}dx\right)}^2=\{f(a){\}}^2\end{array}$$

$f(a)>0$ であるから、

$$f(a)=\sqrt{\frac{\pi }{4a}}=\frac{\sqrt{\pi }}{2}{a}^{-\frac{1}{2}}$$

$a=1$ を代入して、

$$\boxed{f(1)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}}$$

$f(a)$ を $a$ について微分すると、

$$f^{\prime }(a)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)a^{-\frac{3}{2}}=-\frac{\sqrt{\pi }}{4}{a}^{-\frac{3}{2}}$$

$a=1$ を代入して、

$$\boxed{f^{\prime }(1)=-\frac{\sqrt{\pi }}{4}}$$

(3)
$f(a)={\int }_0^{\infty }{e}^{-a{x}^2}dx$ の両辺を $a$ について $n$ 回微分する。積分記号下での微分法により、

$$\begin{array}{rl}{f}^{(n)}(a)& =\frac{d^n}{d{a}^n}{\int }_0^{\infty }{e}^{-a{x}^2}dx\\ & ={\int }_0^{\infty }\frac{{\partial }^n}{\partial a^n}(e^{-a{x}^2})dx\\ & ={\int }_0^{\infty }(-x^2{)}^n{e}^{-a{x}^2}dx\\ & =(-1{)}^n{\int }_0^{\infty }{x}^{2n}{e}^{-a{x}^2}dx\end{array}$$

したがって、

$${\int }_0^{\infty }{x}^{2n}{e}^{-a{x}^2}dx=(-1{)}^n{f}^{(n)}(a)$$

一方、$f(a)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}{a}^{-\frac{1}{2}}$ の $n$ 次導関数は、

$$\begin{array}{rl}{f}^{(n)}(a)& =\frac{\sqrt{\pi }}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\cdots \left(-\frac{2n-1}{2}\right)a^{-\frac{2n+1}{2}}\\ & =\frac{\sqrt{\pi }}{2}(-1{)}^n\frac{(2n-1)!!}{2^n}{a}^{-\frac{2n+1}{2}}\end{array}$$

ここで、$a=1$ を代入して整理すると、求める定積分が得られる。

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2}{x}^{2n}dx& =(-1{)}^n{f}^{(n)}(1)\\ & =(-1{)}^n\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}(-1{)}^n\frac{(2n-1)!!}{2^n}\right)\\ & =\frac{(2n-1)!!\sqrt{\pi }}{2^{n+1}}\end{array}$$

（階乗を用いて $\frac{(2n)!\sqrt{\pi }}{2^{2n+1}n!}$ と表すこともできる）

$$\boxed{\begin{array}{r}{\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2}{x}^{2n}dx=\frac{(2n-1)!!\sqrt{\pi }}{2^{n+1}}\end{array}}$$

---

本题考查了广义积分的计算、含参变量积分的求导以及高斯积分的推广。第一问是经典的高斯积分二维形式，通过向极坐标系转换，将原本在直角坐标系下难以求原函数的积分化为可分离变量的积分，从而轻松求解。第二问利用了二重积分可以分离为两个独立的一维积分乘积的性质，通过第一问的结果逆推出一维高斯积分的值，并直接对其含参变量进行求导。第三问则是典型的利用含参变量积分求导法（即费曼积分法）来求解复杂积分的例子。通过对高斯积分关于参数连续求高阶导数，每次求导都会在被积函数中多出一个因子，进而建立起原含参积分导数与所求积分的直接联系。最后只需写出幂函数求高阶导数的通式并代入参数为一的情况，即可得到含有双阶乘的最终结果。