0439-1986 东大工 数学 WEB

常微分方程 数理生物学 种群动力学

ある閉鎖生態系に 2 種の生物 A,B のみが存在し、その個体数を時間 $t$ の関数として、それぞれ $x(t)$ および $y(t)$ とする。この生態系内での個体数の増減は出生および死亡によって起こり、個体数の時間変化はそのときの個体数と出生率あるいは死亡率との積であらわせるとする。このとき、次の問に答えよ。

(1) A の数の変化には B は全く関与しないとする。A の出生率を $\alpha$、死亡率を $\beta$ ($\alpha ,\beta$ は正の定数) としたとき、A の数の変化をあらわせ微分方程式を作り、その一般解を求めよ。また、初期条件 $x(0)=x_0(>0)$ として、時間の経過にともなう A の数の変化の概略を図示せよ。

(2) (1) と同様に、A の数の変化には B は全く関与しないとする。A の出生率が $\alpha$ のままで、死亡率のみが $\gamma x(t)$ ($\gamma$ は正の定数) となったとき、A の数の変化をあらわす微分方程式を作り、その一般解を求めよ。また、初期条件 $x(0)=x_0(>0)$ として、時間の経過にともなう A の数の変化の概略を図示し、その解と (1) との違いを述べよ。

(3) B は A を食べて生存しているとする。A の出生率は B の数によらず $\alpha$ であるが、死亡率は B の数に比例するとし、それを $ay(t)$ とする。一方 B の死亡率は A の数によらず $\delta$ であるが、出生率は A の数に比例し、それを $bx(t)$ とする。ここで、$\alpha ,\delta ,a,b$ はいずれも正の定数である。このとき、A と B の数の変化をあらわす微分方程式を作り、その一般解を求めよ。

(4) いま、簡単のために $\alpha =\delta =a=b=1$ とし、初期条件 $x(0)=x_0(>0),y(0)=y_0(>0)$ としたときの (3) の方程式の解の概形を $x-y$ 平面上に図示し、時間の変化にともなう A の数と B の数の関係について述べよ。

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解答：

(1)

$$\boxed{\frac{dx}{dt}=\alpha x-\beta x=(\alpha -\beta )x}$$ $$\begin{array}{rl}\int \frac{1}{x}dx& =\int (\alpha -\beta )dt\\ \ln |x|& =(\alpha -\beta )t+C\\ x(t)& =C^{\prime }{e}^{(\alpha -\beta )t}\end{array}$$

初期条件 $x(0)=x_0$ より $C^{\prime }=x_0$。

$$\boxed{x(t)=x_0{e}^{(\alpha -\beta )t}}$$ $$\begin{array}{rl}& \text{[図の概略]}\\ & \alpha >\beta ⟹\underset{t\to \infty }{\lim }x(t)=\infty (\text{単調増加曲線})\\ & \alpha =\beta ⟹x(t)=x_0(\text{水平な直線})\\ & \alpha <\beta ⟹\underset{t\to \infty }{\lim }x(t)=0(\text{単調減少曲線})\end{array}$$

(2)

$$\boxed{\frac{dx}{dt}=\alpha x-\gamma x^2}$$ $$\begin{array}{rl}\int \frac{1}{x(\alpha -\gamma x)}dx& =\int dt\\ \frac{1}{\alpha }\int \left(\frac{1}{x}+\frac{\gamma }{\alpha -\gamma x}\right)dx& =t+C\\ \ln \left|\frac{x}{\alpha -\gamma x}\right|& =\alpha t+\alpha C\\ \frac{x}{\alpha -\gamma x}& =C^{\prime }{e}^{\alpha t}\end{array}$$

初期条件 $x(0)=x_0$ より $C^{\prime }=\frac{x_0}{\alpha -\gamma x_0}$。

$$\begin{array}{rl}x(t)& =(\alpha -\gamma x(t))\frac{x_0}{\alpha -\gamma x_0}{e}^{\alpha t}\\ x(t)\left(1+\frac{\gamma x_0}{\alpha -\gamma x_0}{e}^{\alpha t}\right)& =\frac{\alpha x_0}{\alpha -\gamma x_0}{e}^{\alpha t}\end{array}$$ $$\boxed{x(t)=\frac{\alpha x_0}{(\alpha -\gamma x_0)e^{-\alpha t}+\gamma x_0}}$$ $$\underset{t\to \infty }{\lim }x(t)=\frac{\alpha }{\gamma }\left(x=\frac{\alpha }{\gamma }\text{ に漸近する S 字型のロジスティック曲線}\right)$$

[(1)との違い]

(1)の解は極限において発散または $0$ に収束するのに対し、(2)の解は環境収容力 $\frac{\alpha }{\gamma }$ という上限に収束し、無限の増加が抑制される点。

(3)

$$\boxed{\begin{array}{rl}\frac{dx}{dt}& =\alpha x-axy\\ \frac{dy}{dt}& =bxy-\delta y\end{array}}$$ $$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{y(bx-\delta )}{x(\alpha -ay)}\\ \int \left(\frac{\alpha }{y}-a\right)dy& =\int \left(b-\frac{\delta }{x}\right)dx\\ \alpha \ln y-ay& =bx-\delta \ln x+C\end{array}$$ $$\boxed{\delta \ln x-bx+\alpha \ln y-ay=C(C\text{ は任意定数})}$$

(4)
$\alpha =\delta =a=b=1$ のとき、方程式は $\frac{dx}{dt}=x(1-y),\frac{dy}{dt}=y(x-1)$ となり、一般解は

$$\ln x-x+\ln y-y=C$$ $$\begin{array}{rl}& \text{[図の概形]}\\ & x-y\text{ 平面において、平衡点 }(1,1)\text{ を中心とする閉曲線（ループ）を描く。}\\ & \text{[AとBの関係]}\\ & \text{Aの個体数とBの個体数は位相がずれた状態（BがAに遅行する形）で、増減を繰り返す周期的な振動関係にある。}\end{array}$$

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本题是一道关于种群动力学模型的经典常微分方程应用题。第一问构建的是无环境阻力下的马尔萨斯指数增长模型，种群数量呈现纯粹的指数型变化。第二问引入了与种群规模成正比的死亡率，从而构建了逻辑斯谛增长模型，体现了自然界中资源有限带来的密度制约效应，使得种群数量趋于一个稳定阈值。第三问和第四问则推导并求解了著名的洛特卡-沃尔泰拉捕食者-猎物模型，由于该非线性方程组无法用初等函数显式表示时间的函数，因此通常通过相轨迹方程分离变量积分，求出守恒律形式的隐式一般解。在相平面上，该解表现为环绕平衡点的闭合轨道，生动地揭示了捕食者与猎物种群之间相互制约、交替增减的周期性动态平衡关系。