3次元直角座標系の原点に中心をもつ半径 の球 A と、 軸上 に点 P がある。但し、 とする。このとき、次の問に答えよ。
(1) 観測者が点 P に立ち、そこからの球面の可視部分を色 No.1 で染める。次に、観測者は P を中心とする半径 の球内を自由に移動できるときの、新たな可視部分を色 No.2 で、同様に半径 の球内を自由に移動できるときの新たな可視部分を色 No. で染めていく。このとき、A の球面はどのように色分けされるか解析せよ。
但し、観測者は の領域には立ち入れないものとする。また、 の関係が成立するとする。 は、。
(2) 半径 の不透明な円板が、 軸上 に中心をもち、 軸と垂直に起かれているとき、(1) と同じ条件による A の球面の色分け様相を解析せよ。
解答：
(1)
球 A は である。観測者の移動可能領域（ 回目）を とすると、
対称性より 平面 () の第1象限 () で考える。
観測者から球 A に引いた接線のうち、球面上の 座標を最小にするものは、領域 の境界から引いた接線である。接点を とすると、接線の方程式は
この接線が領域 と交わるための条件から、 を最小化（すなわち を最大化）する。接線が円 に接するとき、点 P と接線の距離は となるから、
観測者は球の外側にいるため であり、 より
このときの接点の 座標 は、
この接線が点 で に接するとすると、 である。制約条件 を満たすのは、
を代入すると、 においてこの条件は満たされる（ のとき ）。
のとき、最小の は観測者が境界 上の点 にいるときの接線によって与えられる。このときの接線の 座標を とすると、
したがって、球 A の表面 () は 座標によって以下のように色分けされる。
（ただし とする）
(2)
円板 D は中心 、半径 である。
観測領域 の点 から円板の縁 を通る光線（視線）を考える。この直線の傾き は
この視線が の平面と交わる点の 座標は
円板が視界を遮るため、観測者が認識できる下限は、(1) で求めた自然な接点 と、円板の縁を通る視線が球 A と交わる点 のうち、大きい方（ 座標がより手前にある方）となる。
視線 と の交点のうち 座標が大きい方を とすると、可視領域の下限は に制限される。
特に のとき、視線は球 A の頂点 またはそれより上方を通過するため、円板の影が大きく影響し、(1) の色分け境界は円板の影の境界 によって置き換えられる。（すなわち ）となると、観測者は円板よりも前方の空間 に回り込むことが可能になるため、円板の遮蔽効果は消失し、(1) と同一の境界 に漸近する様相を呈する。
本题是一道结合了解析几何与包络面原理的空间几何问题。第一问中，观察者在一个球形区域内移动，要使在球A上看到的区域最大（即视界边界的x坐标最小），观察者应当移动到其允许范围的边缘，并且视线需与球A相切。我们将三维问题通过对称性降维至二维平面，利用点到直线的距离公式直接写出观察区域边界圆与目标球体的公切线方程。通过最大化切线与x轴的夹角，可以得到视界边界的x坐标序列。题目中巧妙设定了 ，经过边界条件 的验证发现，在 时，最优观测点始终位于观察者活动区域的球面上；而当 后，观察者受限于 的平面墙壁，此时最优观测点将沿着该平面径向向外移动，对应的视界边界需要用平面截口的圆来重新计算切线。第二问引入了一个不透明的圆盘作为障碍物。通过分析圆盘的位置与大小，可以发现圆盘恰好位于点P到球A顶点的中点处。圆盘会投射出一个遮挡锥体，这导致在 较小（即观察者活动范围较小）时，视线受到圆盘边缘的严格限制，原本可以看见的较低纬度区域被阴影覆盖；而随着 的增大，观察者的活动范围最终会越过圆盘所在的平面，从而完全消除障碍物的影响，使得可见区域的边界重新回归到第一问中的无障碍状态。